AMC 10 · 2024 · #1
학년 7 arithmeticalgebra답을 골라 클릭하세요.
9901 · 101과 99 · 10101을 그대로 곱하면 다섯 자리 수 두 개가 나와 실수하기 쉬워요. 대신 9901 = 99 · 100 + 1, 10101 = 101 · 100 + 1 처럼 두 큰 수가 모두 "다른 인수 × 100 더하기 1" 구조로 깔끔하게 쪼개진다는 점을 활용합니다. 이것이 도구 #16(변형하기)이 노리는 대칭이에요 — 식을 다시 써서 큰 항이 통째로 상쇄되게 만드는 거죠. 도구 #4(변수 도입하기)로 a = 99, b = 101이라 두면 그 대칭이 한눈에 보이고, 전체 문제가 한 줄짜리 대수 계산으로 줄어듭니다.
큰 수를 작은 수로 다시 쓰기
9901과 10101은 모두 백 배 더하기 일 꼴입니다.
반복되는 수에 짧은 이름을 붙이는 건 6학년 "문자가 수를 대신한다" 단계 그대로예요. 숨어 있던 대칭이 잘 보이게 됩니다.
6.EE.A.2Introduce A Variable문자로 바꿔 넣기
식 전체가 a와 b만의 식이 됩니다.
같은 식, 다른 옷차림 — 대입 자체가 값을 바꾸지는 않지만 짝이 맞는 조각들을 나란히 보여줘요.
6.EE.A.3Change Focus Count The Complement전개하기
양쪽에 똑같이 100ab가 나타납니다.
특히 두 번째 괄호 앞의 빼기 부호를 빠뜨리지 않게 조심하면서 분배하세요.
괄호 앞의 빼기 부호는 안의 모든 항에 닿으므로, 무거운 부분이 지워지고 작은 나머지만 남는다.
▸ 왜?
합에 걸린 인수는 안의 모든 항에 닿으며, 빼기 부호도 그런 인수다.
▸ 왜?
어떤 양에 그 반대되는 양을 더하면 아무것도 남지 않으므로, 짝이 되는 무거운 항이 사라진다.
남은 차를 읽기
남는 것은 b 빼기 a, 즉 2입니다.
무거운 항이 사라지고 나면 작은 +b 와 -a 만 남고, 그 차이는 그냥 2 예요.
7.EE.A.1Change Focus Count The Complement커 보이는 수들도 종종 작은 구조를 숨기고 있어요. 99와 101을 a, b 로 부르면 짝이 맞는 100ab 가 보이고, 그 부분이 상쇄되면서 AMC 12 1번이 7학년 분배법칙 문제로 변신합니다!