AMC 10 · 2024 · #10
학년 11 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
α도 β도 깔끔한 값이 없으므로 각각을 따로 구해 빼는 방법은 통하지 않는다. 문제는 두 각 사이에 관계가 있다고 약속하고 있고, 선택지가 그 관계의 모양을 알려 준다. 모든 선택지가 α의 정수배 또는 단위분수배에 상수를 더하거나 뺀 꼴이다. 그래서 도구 #5(패턴 찾기)를 쓴다. β를 직접 쫓는 대신 선택지가 가리키는 α의 배수를 하나씩 만들어 보는 것이다. 그중 가장 값싸게 시험할 수 있는 것이 두 배이고, 덧셈정리로 2α를 계산하면 분모가 25인 정확한 분수가 나오는데 이는 두 번째 삼각형이 만들어 내는 분모와 같다. 이어서 도구 #1(그림 그리기)로 그 두 배 각을 7-24-25 삼각형 안에 실제로 그려 넣는다. 답은 바로 거기서 나온다. 도구 #3(가능성 지우기)은 탐색을 흐트러지지 않게 잡아 준다. 선택지에 들어 있는 상수 π/2와 π는 각각 직각과 평각이므로, 문제가 노리는 관계는 임의의 공식이 아니라 각의 합에 관한 사실이다.
두 최소각의 위치 잡기
최소각은 언제나 가장 짧은 변을 마주 봅니다.
각은 그 주변 변들의 비로 결정되므로, 비를 적는 순간 각 삼각형이 정확한 두 수로 바뀐다.
10.G-SRT.C.6Draw A Diagram선택지가 약속하는 것 읽기
보기가 모두 π의 조각이니 특별한 각 관계를 기대합니다.
선택지 속 π/2 같은 상수는 장식이 아니라, 두 각이 같은 삼각형에 속한다고 알려 주는 직각이다.
11.F-TF.A.1Eliminate Possibilities각 알파를 두 배 하기
배각 공식이 7과 24를 그대로 뱉어 냅니다.
5분의 몇을 제곱하면 25분의 몇이 되므로, 3-4-5 삼각형의 각을 두 배 하면 빗변이 25인 삼각형에 떨어질 수밖에 없다.
11.F-TF.C.9Look For A Pattern두 번째 삼각형에서 2알파 찾기
2α는 24를 마주 보는 각입니다.
사인과 코사인이 같은 두 예각은 같은 각이므로, 두 배 한 각을 두 번째 삼각형 안에 그대로 옮겨 그릴 수 있다.
사인과 코사인이 같은 두 예각은 같은 각이다.
▸ 왜?
사인과 코사인은 빗변이 1인 직각삼각형의 두 변이므로, 둘이 함께 모양을 정한다.
▸ 왜?
0과 직각 사이에서는 그런 값의 짝이 정확히 한 번씩만 나오므로, 그 짝지음에 애매함이 없다.
두 예각이 직각을 채운다
따라서 β는 π/2 빼기 2α입니다.
두 각이 같은 직각삼각형 안에 놓이는 순간 계산할 것이 남지 않는다. 한 각이 쓰지 않은 몫을 나머지 각이 그대로 가져간다.
10.G-CO.C.10Draw A Diagram3-4-5 삼각형의 작은 각을 두 배 하면 정확히 7-24-25 삼각형의 큰 예각에 떨어지고, 직각삼각형의 두 예각은 언제나 합쳐서 π/2를 채운다.
- 두 최소각의 위치 잡기
- 선택지가 약속하는 것 읽기
- 각 알파를 두 배 하기
- 두 번째 삼각형에서 2알파 찾기
- 두 예각이 직각을 채운다