AMC 10 · 2024 · #12
학년 6 algebranumber-theory답을 골라 클릭하세요.
"등비수열" 이라는 말은 곧장 도구 #13(대수로 바꾸기)의 신호입니다. 공비 r 에 이름을 붙이고 기약분수 r = p/q 로 표현하면, a 와 b 가 정수여야 한다는 조건이 깔끔한 정수론 조건 — "p 와 q 는 둘 다 720의 약수" — 로 바뀝니다. b = 720 · p/q 를 p ＞ q 조건 하에 최소화하려면 p/q 가 1에 가장 가까워야 하므로, 곧 연속된 정수 쌍을 찾는 문제로 환원됩니다. 그다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 720의 연속된 약수 쌍만 훑으면 됩니다 — 후보가 많지 않아 그 중 가장 큰 쌍만 골라내면 끝.
공비를 분수로 놓기
기약분수 p 나누기 q를 공비로 씁니다.
공비라는 미지수에 문자를 붙이고 기약분수로 못박는 것은 6학년 "문자가 수를 대신한다" 정석 동작입니다. "어떤 수열" 이라는 막연한 표현이 두 개의 깔끔한 공식으로 바뀝니다.
6.EE.A.2Convert To Algebra정수 조건 옮기기
p와 q가 모두 720의 약수여야 합니다.
서로소 + 곱을 나눈다는 것은 6학년 GCF 규칙 그 자체입니다 — q 가 p 와 공약수가 없으면 q 의 인수는 모두 720 쪽에서 가져와야 합니다.
어떤 수가 다른 수와 인수를 공유하지 않는다면, 필요한 인수를 나머지에서 모두 가져와야 한다.
▸ 왜?
모든 수의 소인수 조리법은 하나뿐이므로, 공유되지 않은 소수는 그 짝이 대 줄 수 없다.
▸ 왜?
몫이 정수가 되는 것은 필요한 인수가 모두 있고 남는 것이 없을 때뿐이다.
b를 최소로 만드는 조건
공비를 1에 가장 가깝게 하면 b가 최소입니다.
연속된 두 정수는 자동으로 서로소 (gcd(n, n+1) = 1) 이므로 "서로소" 조건은 공짜로 만족 — 둘이 모두 720의 약수이기만 하면 됩니다.
6.RP.A.1Convert To Algebra연속한 약수 쌍 찾기
가장 큰 쌍은 15와 16입니다.
(15, 16) 다음으로 가려면 q ≥ 16 이면서 q+1도 720의 약수여야 하는데, 720의 약수는 16 다음에 18, 20, 24, … 로 뛰어버립니다. 더 큰 연속 쌍은 없습니다.
4.OA.B.4Make A Systematic Listb 구하고 자릿수 더하기
b는 768이고 자릿수 합은 21입니다.
최적의 (p, q) = (16, 15)를 b = 720p/q 에 대입하는 것은 곱셈·나눗셈일 뿐. 먼저 720을 작은 인수 15로 나눠 48을 얻으면 산수가 가볍습니다.
6.NS.B.2Convert To Algebra등비수열이 정수에 떨어져야 할 때, 공비는 기약분수 p/q 형태이고 p 와 q 둘 다 가운데 항을 나눠야 합니다. b 를 720에 최대한 가깝게 만들려면 720의 연속된 약수 중 가장 큰 쌍을 찾으면 됩니다 — 그 쌍이 (15, 16) 이므로 b = 720 · 16/15 = 768.