AMC 10 · 2024 · #15

학년 11 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

polynomial-rootscomplex-numbersdifference-of-squarespolynomial-factoringvieta-formulas convert-to-algebraeasier-related-problem ↑ 선수 지식: polynomial-factoringdifference-of-squarescomplex-numbers

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

삼차식 x³ + 2x² - x + 3의 세 근을 각각 p, q, r이라 합니다. (p² + 4)(q² + 4)(r² + 4)의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

100

(D)

125

(E)

144

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

가장 먼저 떠오르는 방법은 삼차방정식을 풀어 근을 대입하는 것입니다. 도구 #16(관점 바꾸기)이 이 생각을 일찍 접게 만듭니다. 유리근 검사를 해 보면 근이 전혀 깔끔하지 않으므로, 답은 근 하나하나에서 나올 수 없고 다항식 전체에서 나와야 합니다. 다리를 놓아 주는 것은 도구 #13(대수로 바꾸기)입니다. 'p, q, r이 근이다'라는 말을 f(x) = (x-p)(x-q)(x-r)이라는 항등식으로 바꾸면, 어떤 수를 넣든 그 수와 세 근 사이의 차를 한꺼번에 곱한 값이 튀어나옵니다. 그다음 도구 #15(다르게 정리하기)가 두 번에 걸쳐 핵심 작업을 합니다. 먼저 p²+4를 (p-2i)(p+2i)로 바꾸는데, 이는 i를 허용해야만 가능합니다. 그리고 이렇게 생긴 여섯 개의 인수를 두 무더기로 다시 갈라 각각 인수분해된 다항식과 맞춥니다. 함정은 각 무더기가 f와 뺄셈 방향이 반대라서 무더기마다 마이너스가 세 번 나온다는 점이고, 이 부호 계산이 이 문제의 난이도 전부입니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 근이 눈에 보이는 삼차식에서 그 부호를 미리 검사한 뒤 실제 계산에 들어갑니다.

1STEP 1

근을 구할 수 있는지 확인하기

유리근 후보가 모두 실패하니 근을 쫓지 않습니다.

f(1) = 5, f(-1) = 5, f(3) = 45, f(-3) = -3

2STEP 2

근을 인수분해된 다항식으로 바꾸기

세 근은 f의 인수로 다시 쓸 수 있습니다.

f(x) = x³ + 2x² - x + 3 = (x-p)(x-q)(x-r)

3STEP 3

i를 써서 쪼개기

제곱 더하기 4는 2i를 쓴 두 인수가 됩니다.

p² + 4 = p² - (2i)² = (p - 2i)(p + 2i)

4STEP 4

여섯 인수를 두 무더기로 모으기

곱이 f(2i) 곱하기 f(-2i)로 접힙니다.

(p²+4)(q²+4)(r²+4) = (-f(2i))(-f(-2i)) = f(2i) f(-2i)

5STEP 5

근이 보이는 삼차식으로 부호 검사

간단한 예로 부호가 맞음을 확인합니다.

4 · 5 · 5 = 100 = (-10i)(10i) = g(2i) g(-2i)

6STEP 6

2i와 -2i 대입하기

두 값은 서로 켤레입니다.

f(2i) = -5 - 10i, f(-2i) = -5 + 10i

7STEP 7

켤레끼리 곱하기

켤레의 곱은 실수 125입니다.

f(2i) f(-2i) = (-5 - 10i)(-5 + 10i) = 25 - 100i² = 125

정답

125

일부러 피해 간 근으로 수치 검산을 해 봅니다. 이 삼차식은 실근이 약 -2.7573이고 켤레인 두 근이 약 0.3786 ± 0.9719i입니다. 실근에서는 p² + 4 ≈ 11.6026입니다. 켤레쌍에서는 q² + 4 ≈ 3.1987 + 0.7360i이고 r² + 4는 그 켤레이므로, 둘의 곱은 3.1987² + 0.7360² ≈ 10.7735입니다. 곱하면 11.6026 × 10.7735 ≈ 125.00으로, 정리해서 얻은 답과 정확히 같습니다. 구조적인 확인도 둘 있습니다. 첫째, 결과는 양의 실수일 수밖에 없습니다. 실수가 아닌 두 근은 켤레쌍이라 곱이 양의 실수가 되고, 실근 쪽은 p² + 4 ＞ 0이기 때문입니다. 둘째, 선택지가 흔한 실수를 짚어 줍니다. 무더기를 모으는 단계에서 마이너스를 하나만 챙기면 -125가 되는데 그런 선택지는 없습니다. 문제를 p² - 4로 잘못 읽어 f(2)f(-2) = 17 · 5 = 85를 구해도 목록에 없습니다. 그리고 (C)의 100은 부호 검사에 쓴 연습용 삼차식 x³ - x의 값이므로, 방법만 확인하고 진짜 다항식에 대입하는 것을 잊은 사람을 위한 함정입니다.

💡핵심 정리

다항식의 근으로 만들어진 값을 묻는데 근이 지저분하다면 근을 쫓지 말자. 묻는 식을 다항식에 잘 고른 수 몇 개를 대입한 꼴로 바꾸고, 그 과정에서 마이너스 부호를 빠짐없이 세면 된다.

근을 실제로 구할 수 있는지 확인하기
'근'을 인수분해된 다항식으로 바꾸기
i를 써서 p² + 4 쪼개기
여섯 인수를 두 무더기로 모으고 부호 값 치르기
근이 보이는 삼차식으로 부호 검사하기
f에 2i와 -2i 대입하기
켤레끼리 곱하기