AMC 10 · 2024 · #16

학년 11 probabilitycounting

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Ordered Placement Count

combinations-basicfundamental-counting-principleprobability-basicpermutations-basicgcd identify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: combinations-basicprobability-basicfraction-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

토큰 12개, 곧 빨강 3개, 하양 2개, 파랑 1개, 검정 6개를 세 사람에게 무작위로 4개씩 나눠 줍니다. 세 색 묶음이 서로 다른 손에 들어갈 확률, 즉 한 사람이 빨강 3개를 모두 갖고 다른 한 사람이 하양 2개를 모두 갖고 또 다른 사람이 파랑을 갖는 확률을 기약분수 m 나누기 n으로 나타낼 때, m 더하기 n을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

387

(B)

388

(C)

389

(D)

390

(E)

391

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

세 가지 조건이 한꺼번에 걸려 있어서 복잡해 보이므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 세는 일을 두 갈래로 나눈다. 먼저 어느 사람이 어느 색을 맡을지 정하고, 그다음 남은 자리를 어떤 검정 토큰으로 채울지 정한다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 세는 일 자체를 정당하게 만든다. 같은 색 토큰도 서로 다른 물건으로 보아야 모든 분배가 똑같이 일어날 법하기 때문이다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 두 번째 갈래를 맡는다. 색 담당을 하나로 고정해 놓고 검정 토큰 채우는 방법만 세면 간단한 선택의 연속이 되고, 나중에 배수만 곱하면 된다. 그 배수는 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 색 담당을 나누는 방법을 모두 적어서 얻는다.

1STEP 1

토큰을 모두 다르게 보기

모두 구별하면 세는 일이 단순해집니다.

서로 다른 토큰 12개 → |H₁|=|H₂|=|H₃|=4인 손 H₁,H₂,H₃

2STEP 2

가능한 분배의 총 개수

전체 경우는 34650가지입니다.

C(12, 4)C(8, 4)C(4, 4)=495 · 70 · 1=34650

3STEP 3

사건이 요구하는 것 못 박기

남는 자리 여섯 개가 검정 여섯 개와 정확히 같습니다.

빈자리=1+2+3=6=검정 토큰의 개수

4STEP 4

세 가지 색 담당 나누기

누가 어느 색을 맡을지 6가지입니다.

3!=3 · 2 · 1=6

5STEP 5

남은 자리를 검정으로 채우기

검정을 1개, 2개, 3개로 나누는 방법이 60가지입니다.

C(6, 1)C(5, 2)C(3, 3)=6 · 10 · 1=60

6STEP 6

두 작은 문제 곱하기

좋은 경우는 360가지입니다.

6 · 60=360 → P=360/34650

7STEP 7

약분하고 더하기

확률은 385분의 4이고 답은 389입니다.

360/34650=4/385, m+n=4+385=389 → (C)

정답

389

확률 4/385≈ 0.0104는 약 1%인데 그럴듯하다. 빨강 3개가 한 사람에게 몰릴 확률만 따져도 3·4/12·3/11·2/10=3/55≈ 0.055인데, 문제의 사건은 그보다 훨씬 많은 것을 요구하므로 답은 이보다 훨씬 작아야 한다. 실제로 약 다섯 배 작다. 더 확실한 확인도 가능하다. 이 분배는 전부 나열할 만큼 작아서, 이름 붙인 토큰 12개를 4개씩 세 손으로 가르는 34650가지를 모두 훑으면 조건을 만족하는 것이 정확히 360가지이고 360/34650=4/385가 확인된다. 구조적인 확인도 통과한다. 참가자를 구분하지 않고 묶음만 세면 전체는 34650/6=5775, 조건을 만족하는 것은 360/6=60이 되어 60/5775=4/385로 같다. 사람에게 이름을 붙이든 말든 확률은 바뀌지 않아야 하는데, 실제로 바뀌지 않는다. 가장 흔한 함정은 3!가지 담당 배치를 빠뜨리는 것이다. 그러면 60/34650=2/1155가 되어 m+n=1157인데, 선택지에 없다는 사실 자체가 경고 신호다. 두 번째 함정은 같은 색 토큰을 하나로 묶어 버리는 것으로, 첫 단계에서 균등 모형이 무너진다.

💡핵심 정리

특별한 묶음 여럿이 서로 다른 곳에 흩어져야 한다면, 먼저 누가 어느 역할을 맡는지 세고 그다음 남은 자리를 채우는 방법을 세어서 두 수를 곱하면 된다.

토큰 12개를 모두 다르게 보기
가능한 분배의 총 개수 세기
사건이 정확히 무엇을 요구하는지 못 박기
세 가지 색 담당 나누기
남은 자리를 검정으로 채우기
두 작은 문제를 곱하기
약분하고 더하기