AMC 10 · 2024 · #17

학년 8 algebranumber-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

systems-of-equationsprime-factorizationfactorslinear-equations-two-var convert-to-algebracaseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: systems-of-equationsprime-factorization

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

세 정수 a, b, c가 ab + c = 100, bc + a = 87, ca + b = 60을 만족합니다. ab + bc + ca의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

212

(B)

247

(C)

258

(D)

276

(E)

284

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

미지수 3개·식 3개 시스템은 도구 #13(대수로 바꾸기)의 정석 신호입니다. 정수 삼중쌍을 무작정 찾는 것은 막막하지만, 두 식을 빼고 또 더하면 묶어내기로 (a-c)(b-1) = 13, (a+c)(b+1) = 187이 나옵니다. 여기서 "정수" 조건이 강력해집니다 — 13은 소수이고 187 = 11 · 17 이므로 도구 #3(가능성 지우기)이 b 후보를 매우 작은 집합으로 좁힙니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 네 개의 b 후보를 차례로 점검해 두 식을 모두 만족하는 것을 남기면, a 와 c 는 2 × 2 일차 연립으로 떨어집니다.

1STEP 1

두 식을 빼기

차가 곱이 13인 두 인수로 접힙니다.

(ab+c) - (bc+a) = 100 - 87 → (a-c)(b-1) = 13

2STEP 2

같은 두 식을 더하기

합은 곱이 187인 두 인수가 됩니다.

(ab+c) + (bc+a) = 100 + 87 → (a+c)(b+1) = 187

3STEP 3

b의 후보 좁히기

두 약수 조건을 동시에 만족하는 b는 몇 개뿐입니다.

b ∈ {-12, 0, 2, 14} 그리고 b+1 ∈ {± 1, ± 11, ± 17, ± 187}

4STEP 4

살아남은 후보

남는 것은 0과 마이너스 12입니다.

살아남은 후보: b ∈ {-12, 0}

5STEP 5

0을 탈락시키기

b가 0이면 세 번째 식이 깨집니다.

b = 0 → (a, c) = (87, 100), ca + b = 8700 ≠ 60

6STEP 6

세 수 확정하기

세 수는 -9, -12, -8입니다.

a - c = -1, a + c = -17 → a = -9, c = -8, b = -12

7STEP 7

검산하고 합 구하기

세 식을 모두 확인하면 합은 276입니다.

ab + c = 108 - 8 = 100 ✓, bc + a = 96 - 9 = 87 ✓, ca + b = 72 - 12 = 60 ✓; ab + bc + ca = 108 + 96 + 72 = 276 → (D)

정답

276

후보 삼중쌍 (-9, -12, -8)이 원래 세 식을 모두 정확히 만족하므로 조작 과정의 부산물이 아닌 진짜 해입니다. 목표 합 108 + 96 + 72 = 276은 선택지 (D)와 일치. 크기 점검: 우변 100, 87, 60은 60-100 범위인데 두 변수 곱 72, 96, 108이 그 범위 근처에 자리잡고 있고, 작은 합산 항 a, b, c 가 약간 빼주는 그림이 자연스럽게 들어맞습니다. 살아남는 다른 b 후보가 없으므로 답은 강제됩니다.

💡핵심 정리

순환 구조의 세 식은 "두 식을 빼고 또 더해 묶어내기" 한 번으로 (a-c)(b-1) = 13, (a+c)(b+1) = 187이 됩니다. 13은 소수, 187 = 11 · 17 이라서 정수 규칙이 b 후보를 단 두 개로 줄여주고, 나머지는 2 × 2 연립으로 깔끔히 마무리됩니다.