AMC 10 · 2024 · #20

학년 10 probabilitygeometry-2d

유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Uniform Draws to Favorable Region

geometric-probabilityindependent-eventsarea-trianglesratio-proportioncomplementary-counting convert-to-algebracomplementary-countingestimation ↑ 선수 지식: probability-basicarea-trianglesratio-proportion

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

정삼각형 ABC의 변 AB 위에 점 P를, 변 AC 위에 점 Q를 각각 자기 변을 따라 고르게, 서로 무관하게 무작위로 떨어뜨립니다. 그러면 모서리 삼각형 APQ가 잘려 나옵니다. 삼각형 APQ의 넓이가 삼각형 ABC 넓이의 절반보다 작을 확률이 주어진 다섯 구간 중 어디에 들어가는지 고르세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\left[\frac 38, \frac 12\right]$

(B)

$\left(\frac 12, \frac 23\right]$

(C)

$\left(\frac 23, \frac 34\right]$

(D)

$\left(\frac 34, \frac 78\right]$

(E)

$\left(\frac 78, 1\right]$

풀이 과정

전략 그림 그리기

우연은 두 길이 AP와 AQ에만 들어 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 이 둘을 x와 y라고 부른다. 그러면 도구 #13(대수로 바꾸기)이 넓이 비교를 xy ＜ 1/2라는 부등식 하나로 바꾸는데, 여기에는 삼각형이 더 이상 등장하지 않는다. 이 부등식이 나오는 순간 도구 #1(그림 그리기)이 주도권을 잡는다. 쌍 (x,y)는 한 변이 1인 정사각형 위에 고르게 퍼진 점이므로, 구하려는 확률은 그 정사각형에서 쌍곡선 xy = 1/2 아래쪽 부분의 넓이 그 자체다. 이 부분을 정면으로 재는 것은 번거로우므로 도구 #16(관점 바꾸기)으로 xy ≥ 1/2인 작은 모서리 영역으로 시선을 옮긴다. 그 모서리는 자기를 감싸는 정사각형과 자기 안에 들어가는 삼각형 사이에 쉽게 끼워 넣을 수 있고, 도구 #3(가능성 지우기)이 그 조임을 이용해 한 구간만 남기고 모두 지운다.

1STEP 1

두 우연한 길이에 이름 붙이기

두 변수는 0과 1 사이 균등분포입니다.

AB = AC = 1, x = AP ∈ [0,1], y = AQ ∈ [0,1], x,y 독립, 균등

2STEP 2

넓이의 비는 그냥 곱

두 번 축소하면 넓이 비가 두 길이의 곱입니다.

[APQ]/[ABQ] = AP/AB = x, [ABQ]/[ABC] = AQ/AC = y ⟹ [APQ]/[ABC] = xy

3STEP 3

사건을 부등식 하나로 바꾸기

조건은 곱이 2분의 1보다 작다가 전부입니다.

[△ APQ] ＜ 1/2[△ ABC] ⇔ ([△ APQ])/([△ ABC]) ＜ 1/2 ⇔ xy ＜ 1/2

4STEP 4

표본공간을 정사각형으로 그리기

경계는 쌍곡선 한 조각입니다.

표본공간 = [0,1]×[0,1], P(사건) = 넓이{(x,y) : xy ＜ 1/2}, 경계 y = 1/2x

5STEP 5

나쁜 모서리로 시선 옮기기

실패 영역은 오른쪽 위 구석뿐입니다.

B = {(x,y) ∈ [0,1]² : xy ≥ 1/2}, P = 1 - 넓이(B)

6STEP 6

나쁜 모서리를 두 도형 사이에 가두기

위아래로 조이면 확률이 4분의 3과 8분의 7 사이입니다.

1/8 ＜ 넓이(B) ≤ 1/4 - 1/36 = 2/9 ⟹ 7/9 ≤ P ＜ 7/8, 7/9 = 0.777… ＞ 3/4

7STEP 7

정확한 넓이로 확인하기

적분하면 약 0.847, 곧 4분의 3 초과 8분의 7 이하 구간입니다.

P = ∫₀¹/2 1 dx + ∫₁/2¹ 1/2x dx = 1/2 + 1/2ln 2 = (1+ln 2)/2 ≈ 0.84657 → (D)

정답

(3/4, 7/8]

(1+ln 2)/2 ≈ 0.84657이라는 값은 감각에 맞는다. 모서리 삼각형이 큰 삼각형의 절반을 넘으려면 x와 y가 둘 다 커야 하는데 그것은 정사각형의 작은 모서리뿐이므로, 확률은 1/2보다 한참 크되 1에는 확실히 못 미쳐야 한다. 서로 다른 두 수치 검증도 일치한다. 정사각형을 20000 × 20000 격자로 나누어 각 칸의 중심을 세는 결정적 계산은 0.84657357을 주고, 2천만 쌍을 무작위로 뽑는 몬테카를로는 0.8465616을 준다. 정확한 값은 0.84657359이다. 셋 모두 (3/4, 7/8] 안에 확실히 들어가고, 미적분을 쓰지 않은 조임 7/9 ≤ P ＜ 7/8만으로도 이웃 구간은 이미 배제된다. 구간형 선택지에는 함정이 두 개 숨어 있다. 쌍곡선 모서리를 직선 삼각형으로 그대로 바꿔 버리면 1 - 1/8 = 7/8이 나오는데 이는 경계값일 뿐이고, 부등호 방향을 흘리면 (E)로 잘못 건너가기 쉽다. 넓이를 반으로 나누니 확률도 반쯤이겠거니 하면 (A)나 (B)를 찍게 되지만, 길이에서 넓이로 가는 대응은 합이 아니라 곱이므로 두 절반은 대칭이 아니다. 정삼각형이라는 조건을 한 번도 쓰지 않았다는 점도 확인해 둘 만하다. 어떤 삼각형이든 답은 똑같다.

💡핵심 정리

독립인 두 번의 우연한 선택은 정사각형 위의 점 하나이므로 확률 문제가 넓이 문제로 바뀐다. 그 넓이가 곡선으로 둘러싸여 있으면 감싸는 도형과 안에 들어가는 도형 사이에 가두면 된다.

두 우연한 길이에 이름 붙이기
넓이의 비는 그냥 xy
사건을 부등식 하나로 바꾸기
표본공간을 정사각형으로 그리기
나쁜 모서리로 시선 옮기기
나쁜 모서리를 두 도형 사이에 가두기
정확한 넓이로 확인하기