AMC 10 · 2024 · #21

학년 9 algebra

유형 Telescoping Collapse └ 세부 유형 Difference-Split Collapse

recursive-sequencetelescoping-sumsum-of-squares-formulafloor-functionestimation convert-to-algebrapattern-recognitionestimation ↑ 선수 지식: recursive-sequencesequences-arithmeticfraction-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 5 개 인사이트

문제

수열의 첫 항은 2이고, 이후 모든 항은 앞 항과 (a_n - 1)/(n-1) = (a_(n-1) + 1)/n 이라는 관계로 묶여 있습니다. 처음 100개 항을 각각 제곱해 모두 더한 뒤, 그 합을 넘지 않는 가장 큰 정수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$338{,}550$

(B)

$338{,}551$

(C)

$338{,}552$

(D)

$338{,}553$

(E)

$338{,}554$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

점화식은 인쇄된 모습 그대로는 손대기 어렵다. 계수가 n에 따라 계속 바뀌므로 계수가 일정할 때 쓰는 방법이 하나도 통하지 않는다. 도구 #15(다르게 정리하기)가 겉모습부터 정리한다. 양쪽 분모를 없애면 비례식이 na_n - (n-1)a_n-1 = 2n - 1로 바뀐다. 이렇게 정리한 줄이 곧 힌트이다. (번호) × (항)이라는 똑같은 덩어리가 n에서도, n-1에서도 나타나기 때문이다. 도구 #4(변수 도입하기)가 그 힌트를 받아 이 덩어리에 b_n = na_n이라는 이름을 붙이면 점화식은 b_n - b_n-1 = 2n-1로 무너진다. 이웃한 항의 차이만 남았으니 한 줄이면 서로 지워진다. 도구 #5(패턴 찾기)는 값싼 안전장치로 함께 굴린다. a₂, a₃, a₄를 손으로 구하는 데 1분도 걸리지 않고 그것만으로 닫힌 식이 미리 보이므로, 대수 계산이 맞춰 볼 답이 생긴다. a_n = n + 1/n을 얻고 나면 합은 세 조각으로 갈라지는데 그중 둘은 정확한 값이 나온다. 남은 Σ 1/n²은 초등적인 닫힌 식이 없으므로 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 조금 더 큰 급수와 바꿔치기해서 서로 지워지게 만들고, 1과 2 사이에 딱 가둔다. 마지막은 도구 #3(가능성 지우기)이 맡는다. 선택지가 연속한 정수이므로 폭 1짜리 범위 하나면 넷이 떨어져 나간다.

1STEP 1

처음 몇 항 직접 구하기

패턴이 n 더하기 n분의 1로 보입니다.

a₁ = 2/1, a₂ = 5/2, a₃ = 10/3, a₄ = 17/4 ⟹ a_n ?= (n²+1)/n

2STEP 2

양쪽 분모 없애기

정리하면 차가 2n 빼기 1인 관계가 됩니다.

n(a_n-1) = (n-1)(a_n-1+1) ⟹ na_n - n = (n-1)a_n-1 + n - 1 ⟹ na_n - (n-1)a_n-1 = 2n-1

3STEP 3

곱에 이름 붙이기

새 수열은 홀수를 더해 가는 수열입니다.

b_n = na_n, b_n - b_n-1 = 2n-1, b₁ = 2 ⟹ b_n = 2 + Σ_k=2ⁿ(2k-1) = 2 + (n²-1) = n²+1

4STEP 4

닫힌 식 읽어 내기

추측대로 n 더하기 n분의 1이 맞습니다.

a_n = (n²+1)/n = n + 1/n, a₁ = 1 + 1/1 = 2 ✓

5STEP 5

제곱하고 합을 쪼개기

합이 세 조각으로 갈라집니다.

a_n² = n² + 2 + 1/n² ⟹ Σ_n=1¹⁰⁰ a_n² = Σ_n=1¹⁰⁰ n² + Σ_n=1¹⁰⁰ 2 + Σ_n=1¹⁰⁰ 1/n²

6STEP 6

정확히 구해지는 두 조각

두 조각의 합은 338,550입니다.

Σ_n=1¹⁰⁰ n² = (100 · 101 · 201)/6 = 50 · 101 · 67 = 338,350, Σ_n=1¹⁰⁰ 2 = 200, 338,350 + 200 = 338,550

7STEP 7

남은 꼬리를 가두기

꼬리는 1과 2 사이에 갇힙니다.

1/n² ＜ 1/((n-1)n) = 1/(n-1) - 1/n ⟹ S ＜ 1 + (1 - 1/100) = 199/100, 1 ＜ S ＜ 2

8STEP 8

바닥 함수 취하기

따라서 답은 338,551입니다.

338,551 ＜ 338,550 + S ＜ 338,552 ⟹ ⌊ Σ_n=1¹⁰⁰ a_n² ⌋ = 338,551 (B)

정답

338,551

닫힌 식은 처음 몇 항뿐 아니라 원래 점화식에 직접 넣어도 살아남는다. a_n = n + 1/n일 때 왼쪽은 (a_n - 1)/(n-1) = (n - 1 + 1/n)/(n-1) = (n² - n + 1)/(n(n-1))이고, 오른쪽은 (a_n-1+1)/n = (n - 1 + 1/(n-1) + 1)/n = (n² - n + 1)/(n(n-1))이다. 모든 n ≥ 2에서 두 값이 같고 a₁ = 2도 맞으므로 이 식은 100개 항 전부에 대해 옳다. 점화식을 분수 그대로 굴려 제곱해서 더해 보면 총합이 338,550 + Σ_n=1¹⁰⁰1/n² = 338,551.6349839…로, 범위 (338,551, 338,552) 안에 넉넉히 들어간다. 크기도 멀리서 보면 그럴듯하다. a_n ≈ n이므로 합은 Σ n² = 338,350보다 조금 커야 하고, 가운데 항이 만든 200이 더해지면 선택지들이 몰려 있는 자리에 정확히 떨어진다. 틀린 선택지들은 흔한 두 가지 실수 그 자체이다. (A) 338,550은 Σ 1/n² 꼬리를 통째로 빠뜨렸을 때 나오고, (C) 338,552는 그 꼬리가 2보다 엄격히 작다는 점을 놓치고 2로 올려버렸을 때 나온다.

💡핵심 정리

점화식의 분모를 없애면 na_n - (n-1)a_n-1 = 2n-1이 되어 곱 na_n이 지워 나가기로 n²+1이 되고 a_n = n + 1/n이 나온다. 제곱하면 n² + 2 + 1/n²이고, 남는 Σ 1/n²이 1과 2 사이에 엄격히 갇히므로 바닥 함수 값은 338,551이다.

처음 몇 항 직접 구하기
양쪽 분모 없애기
곱 na_n에 이름 붙이기
닫힌 식 읽어 내기
제곱하고 합을 쪼개기
정확히 구해지는 두 조각 계산하기
남은 꼬리를 가두기
바닥 함수 취하기