AMC 10 · 2024 · #24

학년 11 geometry-3dnumber-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

herons-formulasurface-arealaw-of-cosinesextremal-constructionspatial-visualization work-backwardsbound-inequality-then-enumeratespatial-visualization ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-trianglespolygon-inequality

📏 긴 풀이 💡 5 개 인사이트

문제

네 삼각형 면이 모두 서로 합동인 사면체를 등면사면체라 합니다. 면이 부등변삼각형이고, 곧 세 변의 길이가 모두 다르고, 그 변의 길이가 모두 자연수인 등면사면체 중에서 겉넓이가 가장 작은 값을 구하세요. 겉넓이는 네 면의 넓이를 합한 것입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\sqrt{3}$

(B)

$3\sqrt{15}$

(C)

(D)

$15\sqrt{7}$

(E)

$24\sqrt{6}$

풀이 과정

전략 공간 상상하기

이 문제에는 두 가지 요구 조건이 숨어 있는데, 승부는 두 번째를 알아채느냐에서 갈린다. 첫 번째는 쉽다. 네 면이 합동이므로 겉넓이는 삼각형 하나의 넓이의 4배이고, 따라서 탐색 대상은 삼각형이다. 두 번째가 함정이다. 아무 삼각형이나 등면사면체의 면이 될 수 있는 것이 아니다. 임의의 부등변삼각형을 네 장 복사해서 사면체로 접으려 하면 대개 실패한다. 그래서 "등면사면체가 존재한다"라는 말을 먼저 세 변 a, b, c에 대한 조건으로 번역해야 한다. 이 번역을 가장 깔끔하게 얻는 방법은 등면사면체를 직육면체 안에 넣어, 여덟 꼭짓점 중 네 개만 남긴 모양으로 보는 것이다. 이 그림은 삼각형의 세 변을 직육면체의 세 모서리로 바꿔 주고, 모서리의 길이는 반드시 양수여야 한다. 이 요구를 거꾸로 따라가면 a, b, c에 대한 부등식이 정확히 하나 더 나온다. 그다음부터는 범위가 제한된 정수 탐색이다. 두 조건을 모두 통과하는 가장 작은 변의 길이를 찾고, 헤론의 공식으로 넓이를 구한 뒤, 넓이의 하한을 이용해 그보다 작은 것이 없음을 증명하면 된다.

1STEP 1

네 면이지만 삼각형은 하나

겉넓이는 한 면의 네 배입니다.

겉넓이 = A + A + A + A = 4A

2STEP 2

사면체를 직육면체 안에 넣기

세 변이 직육면체의 면대각선이 됩니다.

a = √(p²+q²), b = √(q²+r²), c = √(r²+p²)

3STEP 3

삼각형에서 직육면체를 되찾기

세 변에서 세 모서리를 되돌릴 수 있습니다.

p² = (a²+c²-b²)/2, q² = (a²+b²-c²)/2, r² = (b²+c²-a²)/2

4STEP 4

모서리가 양수면 예각삼각형

모서리가 실재하려면 예각삼각형이어야 합니다.

q² = abcos C ＞ 0 ⇔ C ＜ 90° ⇔ a² + b² ＞ c²

5STEP 5

넓이의 바닥 깔아 두기

예각이므로 넓이가 변의 곱에 비례해 커집니다.

60° ≤ C ＜ 90° → A = 1/2absin C ≥ 1/2ab · √(3)/2 = √(3)/4ab

6STEP 6

가장 짧은 변은 4 이상

부등변과 예각 조건이 변 4 이상을 강제합니다.

(b+1)² ≤ c² ＜ a²+b² → a² ＞ 2b+1 ≥ 2a+3 → (a-3)(a+1) ＞ 0 → a ≥ 4

7STEP 7

4-5-6 삼각형 재기

헤론으로 재면 겉넓이가 15 루트 7입니다.

A = √(15/2 · 7/2 · 5/2 · 3/2) = √(1575/16) = 15√(7)/4, 4A = 15√(7)

8STEP 8

나머지 전부 지우기

더 작은 후보는 하나도 없습니다.

√(3) ab ≤ 4A ＜ 15√(7) → ab ＜ 5√(21) ≈ 22.9; a ≥ 4, b ≥ a+1 → (a,b) = (4,5)

9STEP 9

직육면체가 실재하는지 확인

세 모서리 제곱이 모두 양수이니 답은 15 루트 7입니다.

p² = 27/2, q² = 5/2, r² = 45/2, 모두 ＞ 0

정답

15√(7)

수치로 보면 15√(7) ≈ 39.69이므로 면 하나의 넓이는 약 9.92이다. 이 자체가 강력한 점검이 된다. 두 변이 4와 5일 때 넓이는 1/2 · 4 · 5 · sin C = 10sin C이므로 결코 10을 넘을 수 없는데, 9.92는 sin C ≈ 0.992, 즉 C ≈ 82.8°에 해당한다. 예각이되 아슬아슬하게 예각이라는 뜻이며, 최소 넓이의 예각삼각형이라면 바로 그런 모습이어야 한다. 다른 보기들은 크게 어긋난다. 보기 (A) √(3) ≈ 1.73, 보기 (B) 3√(15) ≈ 11.6, 보기 (C) 15는 모두 합법적인 후보라면 반드시 넘어야 하는 바닥값 √(3) ab = 20√(3) ≈ 34.6보다 작으므로 어떤 등면사면체의 겉넓이도 될 수 없다. 보기 (E) 24√(6) ≈ 58.8은 실제로 존재하는 등면사면체이지만 엉뚱한 것으로, 정확히 5-6-7 면에 해당한다. 탐색을 허술하게 하면 도달하게 되는 값이다. 합법적인 삼조 몇 개를 헤론으로 더 계산해 보면 순서가 확인된다. (4,5,6) → 15√(7) ≈ 39.69, 다음이 (4,6,7) → 3√(255) ≈ 47.91, 그다음이 (4,7,8) → √(3135) ≈ 55.99, 그다음이 (5,6,7) → 24√(6) ≈ 58.79이다. 첫 번째보다 아래로 내려가는 것은 없다. 두 조건이 모두 제 역할을 한다는 점도 확인해 볼 만하다. (3,4,5)는 변이 정수인 부등변삼각형이고 삼각부등식도 통과하며 네 면의 합은 4 · 6 = 24로 더 작다. 그러나 9 + 16 = 25는 25보다 크지 않으므로 직각삼각형이고, 모서리 q가 0으로 무너진다. 예각 조건을 빠뜨리는 것이야말로 보기에 없는 답을 만들어 내는 실수이다.

💡핵심 정리

삼각형 네 장은 그 삼각형이 예각일 때만 진짜 입체로 접히므로, 이 문제는 결국 세 변이 서로 다른 정수인 가장 작은 예각삼각형을 찾는 일이며, 4-5-6보다 작은 삼각형은 두 조건을 함께 통과하지 못한다.

네 면이지만 삼각형은 하나
사면체를 직육면체 안에 넣기
삼각형에서 직육면체를 되찾기
모서리가 양수라는 말은 예각삼각형이라는 말
넓이의 바닥 깔아 두기
가장 짧은 변은 4 이상
4-5-6 삼각형 재기
나머지 전부 지우기
직육면체가 실재하는지 확인