AMC 10 · 2024 · #3
학년 6 arithmeticnumber-theory답을 골라 클릭하세요.
"최소 몇 개" 문제는 사실 두 개의 작은 문제를 품고 있어, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 정리하면 깔끔합니다. 작은 문제 A: 적어도 몇 개는 있어야 하는가? 각 항은 최대 99 이므로 n 개로 만들 수 있는 최대 합은 99n 이고, 이걸로 n 의 하한을 구합니다. 작은 문제 B: 그 하한을 실제 두 자리 수로 만들어낼 수 있는가? 여기에 도구 #6(추측하고 확인하기)을 붙여 경계값 n = 20과 n = 21을 직접 시험합니다. 하나는 부족하고 하나는 가능하므로 답이 곧바로 결정됩니다.
개수의 하한 세우기
항이 n개면 합은 최대 99n입니다.
조건을 부등식으로 옮기는 것은 6학년의 "n ≥ c" 그대로입니다. n 은 적어도 2024/99 만큼은 되어야 합니다.
조건을 부등식으로 적으면, 개수가 목표를 가장 큰 항으로 나눈 것 이상이어야 함이 드러난다.
▸ 왜?
목표를 가장 큰 항으로 나누면 몫과 나머지가 남으며, 그 몫이 개수의 바닥이다.
▸ 왜?
항이 더 적으면 가장 큰 항을 써도 목표에 닿지 못하므로, 결코 도달할 수 없다.
경계 확인하기
20개로는 모자라고 21개면 넉넉합니다.
6학년 능숙한 다자리 계산: 99에 20과 21을 곱해, 어느 쪽이 처음으로 2024를 넘는지만 확인하면 됩니다.
6.NS.B.2Guess And Check남는 값 계산하기
99를 스무 번 쓰면 44가 남습니다.
99를 스무 개 쓰고 나면 44가 남는데, 44 자체가 두 자리 수이므로 21 번째 항으로 그대로 쓰면 됩니다.
6.NS.B.2Identify Subproblems실제 예로 마무리
99 스무 개와 44 하나, 모두 21개입니다.
후보 n = 21이 실제 합으로 확인되었으므로 부등식의 하한이 도달 가능합니다 — 6학년 "이 n 이 해가 되나?" 검산이 문제를 마무리합니다.
6.EE.B.5Guess And Check"가장 적게" 문제는 "한 조각은 가장 크게?"로 뒤집어 보면 쉬워집니다 — AMC 12의 앞쪽 문제는 이런 6학년 부등식 + 검산 한 수가 자주 통합니다.