AMC 10 · 2024 · #4
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2024 ∣ n! 조건은 그대로 보면 막막하지만 잘게 쪼개면 쉬워집니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)에 따라 먼저 2024를 소인수분해하고, 각 소수마다 n! 이 그 소수를 포함하는지 따로 확인합니다 — n! 이 2024의 배수가 되려면 소인수분해의 각 거듭제곱이 모두 들어 있어야 합니다. 가장 큰 소수가 n 의 최저선을 정해 줍니다. 이어서 도구 #3(선택지 지우기)으로 그 최저선보다 작은 선택지를 한 번에 잘라내면, 그 선을 만족하는 가장 작은 후보가 곧 답이 됩니다.
2024 쪼개기
2024는 2의 세제곱 곱하기 11 곱하기 23입니다.
253 = 11 × 23을 알아내는 것은 4학년 "인수쌍 찾기" 단계이고, 11과 23은 둘 다 소수입니다.
4.OA.B.4Identify Subproblems가장 큰 소인수가 관문
23이 나오려면 n이 23 이상이어야 합니다.
팩토리얼이 어떤 소수를 가지는지 묻는 것은 "이 수들을 모두 담는 가장 작은 그릇" 발상, 곧 6학년 GCF/LCM 의 사고와 같습니다.
소인수 가운데 가장 큰 것이 세는 수가 어디까지 올라가야 하는지의 바닥을 정한다.
▸ 왜?
모든 수의 소인수 조리법은 하나뿐이므로, 그 소수가 곱 어딘가에 반드시 나타나야 한다.
▸ 왜?
소수는 세는 수가 그것에 이르기 전에는 나타날 수 없으므로, 그보다 작은 것은 곧바로 지워진다.
2의 거듭제곱 확인
8까지만 가도 2의 세제곱은 이미 충분합니다.
같은 밑끼리는 지수를 더한다 — 2^a · 2^b = 2^a+b — 라는 6학년 지수 법칙입니다. 7 ＞ 3 이므로 2 쪽은 여유롭습니다.
6.EE.A.1Identify Subproblems가장 작은 n 읽기
모든 조건을 만족하는 최소값은 23입니다.
가장 큰 소수가 최저선을 정하면 더 작은 선택지들은 한 줄로 지워집니다 — 최소공배수형 문제의 "가장 큰 소수가 병목" 정석입니다.
6.NS.B.4Eliminate Possibilities2024 = 2³ × 11 × 23으로 쪼개는 순간 이 AMC 12 문제는 6학년 문제가 됩니다 — 가장 큰 소수 23만 보면 답이 숨을 곳이 없죠.