AMC 10 · 2024 · #5
학년 7 arithmeticalgebra답을 골라 클릭하세요.
20 개의 수가 각각 무엇인지는 끝까지 알려주지 않으므로, 값을 하나씩 나열하거나 추측하는 방식은 통하지 않습니다. 대신 평균이 알려 주는 것은 "합" 입니다. 도구 #11(거꾸로 풀기)로 평균 공식을 역방향으로 돌려 제거 전 전체 합 20 · 45 = 900을 되찾습니다. 합이 계산의 단위가 되면 도구 #13(대수로 바꾸기)이 본론을 맡습니다 — 6의 개수를 k 로 놓으면 남은 개수는 20 - k, 남은 합은 900 - 6k 가 되고, 두 번째 평균 조건이 k 에 대한 일차방정식 하나로 정리됩니다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 마무리 확인 — 같은 20 개를 "6 인 것들" 과 "나머지" 두 덩어리로 다시 묶어 평균 45 로부터의 거리를 맞대어 보면, 완전히 다른 방향에서 같은 k 가 나옵니다.
평균을 합으로 되돌리기
20 곱하기 45로 합 900을 얻습니다.
평균은 전체 합을 똑같이 나눠 준 몫이므로, 나눠 준 개수만큼 다시 곱하면 원래 합이 복원됩니다.
평균은 고르게 나눠진 총합이므로, 다시 개수를 곱하면 총합이 되살아난다.
▸ 왜?
평균은 총합을 개수로 나눈 것이므로, 둘은 한 가지를 두 가지로 읽은 것이다.
▸ 왜?
그 총합은 개별 값을 더한 것이므로, 각 무리가 저마다의 몫을 보탠다.
6의 개수를 문자로 놓기
6이 k개면 남는 합은 900 빼기 6k입니다.
문제가 숨긴 단 하나의 값을 문자 하나가 흡수하면, 나머지는 모두 그 문자에 대한 식으로 표현됩니다.
6.EE.A.2Convert To Algebra두 번째 평균을 방정식으로
남은 합을 남은 개수로 나누면 66입니다.
두 번째 평균은 같은 20 개에 대한 두 번째 정보이고, 합의 언어로 옮기면 미지수 하나짜리 방정식 하나가 됩니다.
7.EE.B.4Convert To Algebrak 구하기
정리하면 60k는 420, 즉 k는 7입니다.
미지수를 한쪽으로 모으는 과정은, 방정식을 만들었던 연산들을 역순으로 되돌리는 것일 뿐입니다.
7.EE.A.1Convert To Algebra균형점으로 확인하기
6은 39 아래, 남은 수는 21 위 — 같은 7이 나옵니다.
평균은 자료의 균형점이므로, 각 덩어리가 평균에서 떨어진 거리에 그 덩어리의 개수를 곱한 값이 양쪽에서 맞아떨어져야 합니다.
6.SP.A.3Organize Information In More Ways이 AMC 12 문제는 6학년 "평균 = 합 ÷ 개수" 와 7학년 일차방정식이면 충분합니다 — 숨겨진 20 개의 수를 하나씩 떠올리지 말고 그 합을 생각하면, 6의 개수는 한 줄에 나옵니다.
- 평균을 합으로 되돌리기
- 6의 개수를 문자로 놓기
- 두 번째 평균을 방정식으로
- k 구하기
- 균형점 관점으로 다시 확인