AMC 10 · 2024 · #6

학년 7 number-theoryarithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

factorsparitysystematic-enumeration caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticprime-factorization

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

세 정수의 곱이 60입니다. 이런 세 수의 합 중에서 여전히 양수인 가장 작은 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

양수 곱이 나오려면 음수 인수의 개수가 짝수여야 한다는 부호 규칙으로 문제를 두 작은 문제로 깔끔히 쪼갤 수 있습니다 (도구 #7). 경우 A — 셋 다 양수, 경우 B — 한 개 양수와 두 개 음수. 각 경우에 등장하는 60의 인수 삼중쌍은 유한 개이므로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 차례대로 나열하고 합을 계산해 양수인 가장 작은 값을 추리면 됩니다. 마지막에 두 경우의 최솟값을 비교하면 전체 답이 나옵니다.

1STEP 1

부호로 경우 나누기

모두 양수이거나 음수가 정확히 두 개입니다.

경우 A: a,b,c ＞ 0. 경우 B: a ＞ 0, b,c ＜ 0.

2STEP 2

양수 삼각형 훑기

세 수가 가까울수록 합이 작아집니다.

1 · 1 · 60 = 60, 합 62. 1 · 2 · 30, 33. 1 · 3 · 20, 24. 1 · 4 · 15, 20. 1 · 5 · 12, 18. 1 · 6 · 10, 17. 2 · 2 · 15, 19. 2 · 3 · 10, 15. 2 · 5 · 6, 13. 3 · 4 · 5, 12.

3STEP 3

양수 쪽 최솟값

3 곱하기 4 곱하기 5에서 합 12가 최소입니다.

min_경우 A(a+b+c) = 3+4+5 = 12.

4STEP 4

음수 쪽 식 세우기

합은 양수 하나에서 두 음수의 크기를 뺀 값입니다.

합 = p - (q+r), 양수 조건: p ＞ q+r.

5STEP 5

음수 쪽 최솟값

10과 마이너스 6, 마이너스 1이 합 3을 냅니다.

min_경우 B, 양수(p-q-r) = 10 - 6 - 1 = 3, 즉 (10, -6, -1).

6STEP 6

두 경우 비교

12와 3 중 작은 쪽, 3이 답입니다.

min(12, 3) = 3 → (B).

정답

당선 삼중쌍 (10, -6, -1)을 끝까지 검산합니다. 곱: 10 · (-6) · (-1) = 10 · 6 = 60, 일치. 합: 10 + (-6) + (-1) = 10 - 7 = 3, 요구대로 양수. 합이 1 또는 2가 되는 경우는 없을까요? 경우 B 에서 p - q - r ∈ {1, 2} 이려면 p = q + r + 1 또는 p = q + r + 2 이면서 pqr = 60. 60의 약수 삼중쌍을 모두 따져 보면: (60,1,1) → 58, (30,2,1) → 27, (20,3,1) → 16, (15,4,1) → 10, (12,5,1) → 6, (10,6,1) → 3, 그 이후는 모두 3 보다 작거나 음수. 따라서 3이 진짜 최솟값이고 답은 (B)로 확정됩니다.

💡핵심 정리

음수 × 음수 = 양수이므로 음수 두 개를 끼우면 거대한 인수 10도 합 3으로 줄어듭니다. 먼저 부호 경우를 쪼개고 그다음에 인수 삼중쌍을 나열하는 두 단계만 거치면, 이 AMC 12 문제는 6-7학년 수준의 작업으로 바뀝니다.