AMC 10 · 2024 · #7
학년 12 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
벡터 2024개를 앞에서부터 하나씩 더하는 것은 불가능합니다. 그래서 이 문제의 핵심은 "어떤 순서로 더할 것인가" 입니다. 도구 #15(다르게 정리하기)가 바로 그 수 입니다. P₁부터 P₂₀₂₄까지 훑는 대신, 가장 바깥 두 점을 짝짓고 그 다음 안쪽 두 점을 짝짓는 식으로 정리합니다. 이렇게 만든 짝은 모두 AC의 중점 M 을 사이에 두고 마주 보므로, 어느 짝이든 합이 똑같이 2BM이 되고 서로 다른 2024개의 벡터가 하나의 벡터의 복사본으로 뭉쳐집니다. 도구 #1(그림 그리기)은 B 를 원점에 놓는 좌표를 제공해, 이 대칭성을 "그럴듯하다" 가 아니라 "확인 가능하다" 로 바꿉니다. 도구 #4(변수 도입하기)는 번호 i 를 도입해 짝짓기 규칙을 한 줄로 적게 해줍니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 안전장치입니다 — 2024개 대신 2개로 같은 논증을 돌려보고 패턴을 확인한 뒤에 큰 수에 적용합니다.
직각을 원점에 놓기
B를 원점에 두면 A와 C가 두 축 위에 놓입니다.
B 가 원점이면 "벡터 BP" 와 "점 P 의 좌표" 가 같은 것이 되어, 벡터를 더하는 일이 좌표를 더하는 일이 됩니다.
10.G-GPE.B.4Draw A Diagram빗변의 길이는 2
피타고라스로 AC는 2입니다.
직각변을 굳이 √(2)로 준 이유는 빗변이 깔끔하게 2가 되도록 하기 위해서입니다 — 그 절반인 1이 곧 등장한다는 신호.
8.G.B.8Draw A Diagram점 2024개, 조각은 2025개
점보다 조각이 하나 더 많습니다.
울타리 기둥과 칸 세기: 안쪽에 기둥 2024개면 칸은 2025개이고, 이 문제의 오답 선택지는 전부 이 하나 차이에서 만들어졌습니다.
7.RP.A.2Introduce A Variable양 끝에서 안쪽으로 짝짓기
어느 짝이든 합은 중점의 두 배입니다.
중점을 사이에 둔 두 점으로 향하는 두 벡터의 합은 언제나 그 중점으로 향하는 벡터의 두 배입니다 — 좌우로 흔들린 만큼이 서로 상쇄되기 때문.
중점을 사이에 둔 두 점으로 뻗은 두 벡터는 언제나 그 중점으로 뻗은 벡터의 두 배로 더해진다.
▸ 왜?
가운데를 중심으로 대칭으로 놓인 점들은 언제나 같은 합으로 짝지어진다.
▸ 왜?
그 공통된 합은 중점의 두 배인데, 중점이 두 위치를 고르게 나눈 것이기 때문이다.
똑같은 짝 1012개
전체 합이 2024 곱하기 중선 벡터가 됩니다.
합을 다시 묶으면 서로 다른 2024개의 벡터가 하나의 벡터의 2024배로 바뀝니다 — 답이 되는 것은 짝의 개수가 아니라 항의 개수.
9.A-SSE.A.2Organize Information In More Ways빗변으로 그은 중선은 1
직각삼각형의 중선은 빗변의 절반, 곧 1입니다.
B 의 각이 직각이라는 것은 B 가 AC를 지름으로 하는 원 위에 있다는 뜻 — 그래서 BM 은 반지름, 즉 언제나 빗변의 절반.
10.G-CO.C.10Draw A Diagram길이 취하기
2024 곱하기 1은 2024입니다.
합이 BM의 상수배로 정리된 순간, 답은 그 상수에 1을 곱한 값일 뿐입니다.
12.N-VM.A.1Organize Information In More Ways벡터 2024개를 하나씩 더하지 말고 맨 앞과 맨 뒤를 짝지으세요 — 그런 짝은 언제나 중점 벡터의 두 배가 되고, 이 문제에서 그 중점 벡터의 길이는 정확히 1입니다.
- 직각을 원점에 놓기
- 빗변의 길이는 2
- 점 2024개, 조각은 2025개
- 양 끝에서 안쪽으로 짝짓기
- 똑같은 짝 1012개
- 빗변으로 그은 중선의 길이는 1
- 길이 취하기