AMC 10 · 2024 · #8

학년 11 algebra
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination
logarithm-propertiesdomain-restrictiontrigonometric-ratiosperiodic-functionextreme-principle extreme-principlesystematic-enumeration ↑ 선수 지식: logarithm-propertiestrigonometric-ratios
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
방정식 log(sin 3θ) + log(cos 2θ) = 0이 주어지고 θ는 0부터 2π까지의 어떤 각이어도 됩니다. 이 방정식을 참으로 만드는 각의 개수를 세세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
0
(B)
1
(C)
2
(D)
3
(E)
4
풀이 과정
전략 극단의 원리

log(sin(3θ)) + log(cos(2θ)) = 0에서 보통의 대수 조작으로 θ를 떼어낼 방법은 없다. 그래서 방정식을 양쪽에서 조여 후보를 짧은 목록으로 줄이는 것이 계획이다. 먼저 도구 #15(다르게 정리하기)로 식을 고쳐 쓴다. 두 로그의 합은 곱의 로그이고, 로그 값이 0이라는 것은 진수가 정확히 1이라는 뜻이므로, 로그 방정식은 sin(3θ)cos(2θ) = 1이라는 한 문장으로 바뀐다. 진짜 일은 도구 #14(극단의 원리)가 한다. 사인과 코사인은 1을 넘을 수 없고 로그의 정의역이 두 인수를 모두 양수로 강제하므로, 곱이 1이 되려면 각 인수가 자기 최댓값에 정확히 올라앉아 있어야 한다. 이것은 일반적인 경우가 아니라 경계의 경우이고, 경계의 경우에는 후보가 아주 적다. 마무리는 도구 #3(가능성 지우기)이다. 두 최댓값 조건 중 더 쉬운 쪽을 풀어 허용되는 각을 모두 적은 다음, 하나씩 다른 조건에 넣어 확인한다.

1STEP 1

로그가 성립하는 곳 찾기

두 값이 모두 양수여야 합니다.

sin(3θ) ＞ 0 그리고 cos(2θ) ＞ 0
2STEP 2

로그 방정식을 곱으로 바꾸기

합쳐 보면 두 값의 곱이 1입니다.

log(sin(3θ)cos(2θ)) = 0 ⟹ sin(3θ)cos(2θ) = 1
3STEP 3

곱이 1이면 두 인수가 고정된다

둘 다 최대여야 하니 각각 1입니다.

1 = sc ≤ s ≤ 1 ⟹ sin(3θ) = 1 이고 cos(2θ) = 1
4STEP 4

코사인이 최대인 각 모두 적기

후보는 0, π, 2π 세 개뿐입니다.

2θ ∈ {0, 2π, 4π} ⟹ θ ∈ {0, π, 2π}
5STEP 5

후보를 확인하고 세기

세 후보 모두 사인이 0이라 살아남는 각은 0개입니다.

θ ∈ {0, π, 2π} ⟹ 3θ ∈ {0, 3π, 6π} ⟹ sin(3θ) = 0 ≠ 1 → (A)
정답
0
두 조건을 반대쪽에서 공략해도 같은 결론이 나와야 한다. sin(3θ) = 1이려면 3θ = π/2 + 2π n이므로 θ = ((4n+1)π)/6이고, [0, 2π] 안에서는 θ = π/6, 5π/6, 3π/2가 나온다. 앞의 둘에서는 cos(2θ) = 1/2이고, 마지막에서는 cos(2θ) = -1이다. 어느 것도 1이 아니므로 위에서 센 결과와 일치한다. 수치 확인도 같은 말을 한다. [0, 2π]를 2 × 10⁷개의 격자점으로 훑으면서 sin(3θ) ＞ 0이고 cos(2θ) ＞ 0인 점만 남기면, 곱 sin(3θ)cos(2θ)는 θ ≈ 0.3519 근처에서 약 0.6635까지가 최대이고 그 이상 올라가지 않는다. 따라서 두 로그의 합은 대략 -0.178에서 멈추고 0에 도달하지 못하며, 해에 10⁻⁶ 이내로 가까운 격자점도 하나도 없었다. 언급할 만한 아슬아슬한 지점은 θ = π/2이다. 거기서는 곱이 실제로 1이지만 (-1)(-1)의 형태여서 두 로그가 모두 정의되지 않는다. 선택지가 노리는 함정이 바로 이것이다.
💡핵심 정리

각각 1 이하인 두 양수의 곱이 1이라면 둘 다 정확히 1이어야 한다. 그런데 cos(2θ) = 1인 곳은 π의 배수뿐이고, 바로 그 자리에서 sin(3θ)는 0에 묶여 있다.

  • 로그가 성립하는 곳 찾기
  • 로그 방정식을 곱으로 바꾸기
  • 곱이 1이면 두 인수가 고정된다
  • 코사인이 최대인 각 모두 적기
  • 후보를 확인하고 세기

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