AMC 10 · 2024 · #9
학년 8 number-theoryalgebra답을 골라 클릭하세요.
"두 수가 모두 완전제곱수"라는 말은 미지의 두 제곱수와 그 사이의 고정된 차이를 가리키는 문장 — 정확히 도구 #13(대수로 바꾸기)의 신호입니다. 두 제곱수에 a², b² 이라는 이름을 붙이고 빼면 M 이 사라지고, b² - a² = 2560 인 정수 쌍 (a,b) 문제로 바뀝니다. 제곱의 차는 (b-a)(b+a) = 2560으로 인수분해되어, 제곱수 문제가 "2560의 인수쌍 문제"로 변신합니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 일을 깔끔하게 둘로 나눠줍니다 — 먼저 알맞은 인수쌍으로 a 를 구하고(M 을 최대화하려면 가장 한쪽으로 치우친 쌍), 그다음 a 에서 일의 자리 산수만 써서 a² - 1213의 일의 자리를 뽑아냅니다.
M 지우기
두 식을 빼면 제곱수의 차가 2560입니다.
"완전제곱수" 조건을 둘 다 식으로 쓰면 미지수 M 을 깔끔히 지울 수 있어요 — 6학년 "문자가 수를 대신한다" 단계의 정석 동작입니다.
6.EE.A.2Convert To Algebra곱으로 쪼개기
두 인수는 같은 홀짝이어야 합니다.
제곱의 차는 가로 b-a, 세로 b+a 인 ㄱ자 띠로 b² - a²를 다시 배열한 것과 같은 대수 식입니다. 같은 홀짝성은 정수 인수분해의 공짜 제약조건입니다.
두 제곱의 차는 두 수의 합에 그 차를 곱한 것으로 갈라진다.
▸ 왜?
그 인수분해는 정확하므로, 크기 문제가 정수 두 개의 곱에 관한 문제가 된다.
▸ 왜?
곱이 정해지고 나면, 가능성은 정확히 그 약수의 짝들이다.
가장 큰 M 고르기
차가 2일 때 제곱수가 가장 커집니다.
곱이 정해져 있으면 두 수는 한쪽이 규칙이 허용하는 한 작아질 때 가장 멀리 떨어집니다. "짝수만" 이라는 조건이 작은 쪽 인수를 1이 아닌 2 까지만 내려가게 묶어줍니다.
4.OA.B.4Identify Subproblems일의 자리 읽기
639의 제곱에서 1213을 빼면 일의 자리가 8입니다.
일의 자리는 일의 자리만으로 결정됩니다 — 모듈로 10 산수가 존재하는 바로 그 이유. 639² = 408,321을 전부 계산할 필요가 없습니다.
8.EE.A.1Identify Subproblems두 완전제곱수의 차이가 고정되어 있을 때는 그 차이를 인수분해하세요 — 고른 인수쌍이 곧 b - a = x, b + a = y 라는 연립방정식이 되어 두 제곱근을 한 번에 풀어줍니다. 한쪽으로 치우친 쌍일수록 제곱수가 더 커집니다.