AMC 10 · 2024 · #10

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

mean-median-mode-rangesystematic-enumerationinterval-arithmetic caseworksystematic-enumerationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangefraction-decimal-conversion

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

실수 아홉 개로 된 목록에 고정된 여섯 값 1, 2.2, 3.2, 5.2, 6.2, 7과 함께 x 이하 y 이하 z인 실수 셋이 더 들어 있습니다. 목록의 범위는 7이고, 평균과 중앙값이 모두 양의 정수입니다. 가능한 순서쌍 (x, y, z)의 개수를 세세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

infinitely many

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

조건이 세 가지 (범위, 평균-정수, 중앙값-정수)이고 리스트의 min·max 가 {1, 7} 인지 {x, z} 인지에 따라 경우가 네 가지로 갈립니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 "누가 min, 누가 max" 로 경우를 명시적으로 나눕니다. 그 다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 살아남는 세 경우(네 번째 경우 min = 1, max = 7은 범위 6이라 즉시 탈락)를 차례로 다룹니다. 각 경우 안에서 평균-정수 조건이 x + y + z 의 소수 부분을 .2로 묶고, 범위 조건이 x 또는 z 중 하나를 결정하며, 중앙값-정수 조건이 마지막 자유 변수를 좁힙니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 마지막 필터링 — 후보가 나오면 원래 식에 다시 넣어 네 조건을 모두 확인하고 통과 못 한 것을 버립니다.

1STEP 1

평균 조건을 합으로 옮기기

세 미지수의 합이 9M 빼기 24.8이어야 합니다.

x + y + z = 9M - 24.8, M ∈ Z_ ＞ 0, x ≥ 0

2STEP 2

범위로 경우 나누기

경우는 세 가지뿐입니다.

경우 I: z=8; 경우 II: x=0; 경우 III: z=x+7, 0 ≤ x ＜ 1

3STEP 3

첫 경우 조이기

중앙값 조건이 x의 범위를 좁힙니다.

경우 I 살아남은 부분: x+y=12.2, 4.2 ≤ x ≤ 6.1

4STEP 4

첫 해 찾기

첫 경우에서 하나가 살아남습니다.

(x, y, z) = (6, 6.2, 8) — 유효

5STEP 5

둘째 해 찾기

둘째 경우에서도 하나가 나옵니다.

(x, y, z) = (0, 5, 6.2) — 유효

6STEP 6

셋째 경우 훑기

중앙값 후보 중 하나만 성립합니다.

y=4 → x=0.1, z=7.1; y=5 → 해 없음

7STEP 7

모두 세기

살아남은 순서쌍은 3개입니다.

(x, y, z) ∈ {(6, 6.2, 8), (0, 5, 6.2), (0.1, 4, 7.1)} → (C)

정답

세 순서쌍이 각각 범위 7이 실현되는 서로 다른 구조에 대응합니다 — 새 max 가 z = 8 인 경우, 새 min 이 x = 0 인 경우, 양쪽이 모두 새 값 (x = 0.1, z = 7.1) 인 경우. 이 대칭성이 경우 분석이 빠짐없음을 뒷받침합니다. 또한 검증된 세 순서쌍 각각의 평균(5, 4, 4)과 중앙값(6, 5, 4)이 모두 달라 진짜로 별개의 해임을 확인. 답 (C) = 3이 맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 사실 6학년 "평균·중앙값·범위" 정의와 꼼꼼한 경우 나누기만 알면 풀 수 있어요!