AMC 10 · 2024 · #11
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
90개 항 중 따로 계산할 수 있는 것이 거의 없으므로, 합을 통째로 공략해야 한다. 여기서 쓸 수는 도구 #15(다르게 정리하기)다. 목록을 왼쪽에서 오른쪽으로 읽는 대신 양 끝에서 안쪽으로 읽어 x_n과 x₉₀-n을 짝짓는다. sin(90^° - n^°) = cos(n^°)이고 sin² + cos² = 1이므로 이런 짝은 무조건 1로 뭉개진다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 짝이 남긴 항들을 따로 처리한다 — 자기 자신과 짝이 되는 x₄₅, 그리고 짝이 될 x₀이 목록에 없는 x₉₀이다. 이 두 나머지 항이 이 문제 난이도의 전부이고, 오답 선택지는 모두 여기서 삐끗한 결과다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 짧은 목록에서 짝짓기를 미리 연습해 개수 세기를 믿을 수 있게 만들고, 마지막에 도구 #3(가능성 지우기)으로 나머지 항이 평균을 1/2보다 아래가 아니라 위로 밀어 올린다는 점을 확인한다.
뭉개지는 짝 찾기
여각끼리 더하면 언제나 1입니다.
직각을 이루도록 서로를 채워 주는 두 각은 사인과 코사인을 맞바꾸고, 사인 제곱 더하기 코사인 제곱은 언제나 1이다.
합해서 직각이 되는 두 각은 사인과 코사인을 맞바꾸며, 그 두 제곱의 합은 1이다.
▸ 왜?
두 각으로 지어진 각은 조각을 더해 재므로, 여각은 두 변을 맞바꾼다.
▸ 왜?
사인과 코사인은 빗변이 1인 직각삼각형의 두 변이므로, 그 제곱의 합은 1이다.
짧은 목록에서 연습하기
작은 예로 짝짓기 방식을 확인합니다.
손가락으로 셀 수 있는 목록에서 먼저 짝지어 보면, 어떤 항이 남을지 미리 정확히 보인다.
9.A-SSE.A.2Solve An Easier Related Problem양 끝에서 안쪽으로 짝짓기
짝이 44개 만들어집니다.
양 끝에서 가운데로 읽어 나가면 정체를 모르던 88개 항이 숫자 1 마흔네 개로 바뀐다.
9.A-SSE.A.2Organize Information In More Ways남은 두 항 따지기
45도와 90도가 합쳐 2분의 3을 냅니다.
가운데 항은 자기와 짝이고 마지막 항은 짝이 없으니, 둘 다 각자 한 번씩만 세어 준다.
11.F-TF.A.2Identify Subproblems합을 낸 뒤 나누기
합 2분의 91을 90으로 나누면 180분의 91입니다.
평균은 쌓아 놓은 더미를 개수로 나눈 것뿐이고, 그 더미는 1이 마흔네 개에 1/2 하나와 1 하나다.
6.SP.B.5Identify Subproblems목록을 양 끝에서 안쪽으로 읽으면 합이 90^°인 각의 짝은 언제나 1을 내고, 그다음 남는 45^°와 90^° 두 항만 한 번씩 세어 주면 된다.
- 뭉개지는 짝 찾기
- 짧은 목록에서 연습하기
- 양 끝에서 안쪽으로 짝짓기
- 남은 두 항 따지기
- 합을 낸 뒤 나누기