AMC 10 · 2024 · #17

학년 11 probabilityalgebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

vieta-formulaspolynomial-rootsprobability-basicsystematic-enumeration work-backwardssystematic-enumerationbound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: polynomial-factoringprobability-basicfactors

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

절댓값이 10 이하인 정수는 마이너스 10부터 10까지 스물한 개입니다. 그 집합에서 a를 뽑고 이어서 b를 뽑되 다시 넣지 않으므로 a와 b는 서로 다릅니다. 삼차식 x세제곱 더하기 a x제곱 더하기 b x 더하기 6이 서로 다른 정수 근 세 개를 가질 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{240}$

(B)

$\frac{1}{221}$

(C)

$\frac{1}{105}$

(D)

$\frac{1}{84}$

(E)

$\frac{1}{63}$

풀이 과정

전략 거꾸로 풀기

420가지 쌍 (a,b)를 하나씩 손으로 확인하는 것은 불가능하므로, 도구 #11(거꾸로 풀기)로 방향을 뒤집는다. 계수를 정하고 근을 찾는 대신, 근을 먼저 정하고 그 근이 계수를 알려주게 한다. 도구 #4(변수 도입하기)가 이 뒤집기를 가능하게 한다. 근을 p,q,r라고 이름 붙이고 삼차식을 (x-p)(x-q)(x-r)로 쓴 뒤 전개하면 된다. 그러면 상수항이 pqr=-6을 강제하는데 이 조건이 아주 작으므로, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 곱이 -6인 서로 다른 세 정수 조합을 모두 적을 수 있다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 a나 b가 [-10,10]을 벗어나는 경우를 걷어낸다.

1STEP 1

가능한 쌍의 개수 세기

순서가 있으니 420가지입니다.

21 × 20 = 420

2STEP 2

근에 이름 붙여 인수분해하기

삼차식을 세 인수의 곱으로 씁니다.

x³+ax²+bx+6=(x-p)(x-q)(x-r)

3STEP 3

전개해서 방향 뒤집기

세 근의 곱이 마이너스 6이어야 합니다.

(x-p)(x-q)(x-r)=x³-(p+q+r)x²+(pq+qr+rp)x-pqr → a=-(p+q+r), b=pq+qr+rp, pqr=-6

4STEP 4

곱이 마이너스 6인 세 수 나열하기

서로 다른 조합이 다섯 가지 있습니다.

{1,-1,6}, {-1,2,3}, {1,-2,3}, {1,2,-3}, {-1,-2,-3}

5STEP 5

각 조합에서 a와 b 읽어내기

조합마다 a와 b가 하나씩 정해집니다.

(-6,-1), (-4,1), (-2,-5), (0,-7), (6,11)

6STEP 6

뽑을 수 없는 쌍 지우기

범위를 벗어난 하나를 빼면 네 개가 남습니다.

(6,11): |11| ＞ 10 → 제외; 4개의 쌍이 남는다

7STEP 7

나누어 확률 구하기

420분의 4, 곧 105분의 1입니다.

4/420=1/105 → (C)

정답

1/105

1/105은 1%가 채 되지 않는데, 이는 자연스럽다. 아무렇게나 만든 삼차식이 정수 범위에서 인수분해되는 일은 거의 없으므로 420가지 중 극소수만 성공한다. 420가지 순서쌍을 모두 직접 확인해도 성공하는 것은 정확히 네 개, (a,b)=(-6,-1),(-4,1),(-2,-5),(0,-7)이고 각각의 근은 {-1,1,6},{-1,2,3},{-2,1,3},{-3,1,2}이다. 오답 선택지는 흔한 두 실수의 모양이다. b=11이 뽑는 대상 밖이라는 사실을 놓치면 다섯 조합이 모두 남아 5/420=1/84, 즉 (D)가 된다. 순서를 무시하고 쌍으로 보면 분모가 C(21, 2)=210이 되어 분자까지 어긋난다. a와 b가 뽑는 대상 안에 있는지 따로 확인하고, 둘이 서로 다른 자리에 들어간다는 점을 기억하면 두 함정을 모두 피할 수 있다.

💡핵심 정리

계수를 하나씩 뒤지기 어려우면 근에서 거꾸로 다항식을 만들어라. 상수항이 어떤 근이 가능한지 먼저 알려준다.

가능한 쌍의 개수 세기
근에 이름 붙여 인수분해하기
전개해서 방향 뒤집기
곱이 -6인 세 수 나열하기
각 조합에서 (a,b) 읽어내기
뽑을 수 없는 쌍 지우기
나누어 확률 구하기