AMC 10 · 2024 · #21

학년 11 geometry-2dnumber-theory

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Direct Ratio Scale-Up

tangent-addition-formulatrigonometric-ratiosinteger-pythagorean-triplescomplementary-angles convert-to-algebrawork-backwardsidentify-subproblems ↑ 선수 지식: trigonometric-ratiospythagorean-theoremgcd

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

서로 다른 직각삼각형 셋이 각각 원시 피타고라스 세 쌍의 변 길이를 가집니다. 각각의 가장 작은 각을 취하면 세 각의 합이 90도입니다. 그중 둘은 3-4-5와 5-12-13입니다. 셋째 삼각형의 둘레를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

126

(C)

154

(D)

176

(E)

208

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

각에 대한 식 α + β + γ = 90°는 그대로는 손댈 수 없습니다. 알려진 두 각이 36.87°처럼 지저분한 값이라 삼중쌍이 정확한 각도를 주지 않기 때문입니다. 핵심은 각 자체 대신 각의 탄젠트를 다루는 것입니다(대수로 바꾸기). 직각삼각형에서 가장 작은 각의 탄젠트는 짧은 변 나누기 긴 변, 즉 삼중쌍이 공짜로 주는 깔끔한 분수입니다. 탄젠트 덧셈 공식이 각의 합을 분수 계산으로 바꿔 주고, 합이 하필 90°라는 점이 결정적입니다. 여각의 탄젠트는 역수가 되기 때문입니다(전체에서 거꾸로 풀기). 여기까지 오면 세 번째 삼각형의 두 변의 비가 확정됩니다. 그다음 배율에 이름을 붙이고(변수 도입하기) 원시라는 조건을 걸면 실제 변의 길이가 강제되고, 빗변과 둘레는 각각 작은 계산으로 떨어집니다(작은 문제로 쪼개기). 마지막으로 선택지를 이용해 검산합니다(가능성 지우기).

1STEP 1

각을 탄젠트로 바꾸기

두 각의 탄젠트는 4분의 3과 12분의 5입니다.

tanα = 3/4, tanβ = 5/12

2STEP 2

합을 여각으로 읽기

셋째 각은 앞 두 각의 여각입니다.

γ = 90° - (α + β)

3STEP 3

알려진 두 각을 더하기

덧셈정리로 33분의 56이 나옵니다.

tan(α+β) = (tanα + tanβ)/(1 - tanαtanβ) = 7/6/11/16 = 7/6·16/11 = 56/33

4STEP 4

여각이므로 뒤집기

뒤집으면 56분의 33입니다.

tanγ = tan(90° - (α+β)) = 1/(tan(α+β)) = 33/56

5STEP 5

원시 조건이 배율을 못 박는다

33과 56이 서로소라 배율은 1입니다.

두 변 = 33k, 56k, gcd(33,56)=1 ⟹ k=1

6STEP 6

빗변 구하기

빗변은 65입니다.

33² + 56² = 1089 + 3136 = 4225 = 65², 33 ＜ 56 ＜ 65

7STEP 7

세 변 더하기

33 더하기 56 더하기 65는 154입니다.

33 + 56 + 65 = 154

정답

154

세 각을 수치로 확인해 봅시다. 3-4-5의 가장 작은 각은 arctan3/4 ≈ 36.870°, 5-12-13은 arctan5/12 ≈ 22.620°, 33-56-65는 arctan33/56 ≈ 30.510°입니다. 합이 정확히 90.000°로 조건과 일치합니다. 직각삼각형인 것도 확인되고(1089 + 3136 = 4225 = 65²), 원시인 것도 확인됩니다(3 · 11, 2³ · 7, 5 · 13은 공약수가 없습니다). 나머지 선택지에도 같은 검산을 해 보면 모두 어긋납니다. 8-15-17은 합이 약 87.56°, 28-45-53은 약 91.38°, 48-55-73은 약 100.60°, 39-80-89는 약 85.48°입니다. 정확히 맞는 것은 154뿐입니다. 크기 감각도 맞습니다. 남은 각 30.5°는 5-12-13의 22.6°보다는 크고 3-4-5의 36.9°보다는 작으므로 세 번째 삼각형은 적당히 길쭉해야 하는데, 33-56-65가 정확히 그런 모양입니다.

💡핵심 정리

합이 직각인 각들은 그대로는 다루기 어렵지만 탄젠트는 삼중쌍이 주는 정확한 분수입니다. 공식 하나로 탄젠트를 더하고, 남은 각이 여각이니 뒤집으면, 그 비가 곧 세 번째 삼각형입니다.

각을 탄젠트로 바꾸기
합을 여각으로 읽기
알려진 두 각을 더하기
여각이므로 뒤집기
원시 조건이 배율을 1로 못 박는다
빗변 구하기
세 변 더하기