AMC 10 · 2024 · #22
학년 10 geometry-2dnumber-theory답을 골라 클릭하세요.
조건은 각에 걸려 있는데 최소화해야 할 값은 변에 걸려 있고, 정수를 뒤질 수 있는 곳은 변 쪽뿐이다. 그래서 도구 #13(대수로 바꾸기)이 목표를 정한다. ∠ B = 2∠ A를 a, b, c에 대한 정확한 등식으로 바꾸는 것이다. 도구 #1(그림 그리기)은 그 방법을 제공한다. '두 배'라는 말은 ∠ B를 반으로 잘라 그림 안에 ∠ A의 복사본을 하나 더 만들라는 지시이기 때문이다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 그렇게 나온 그림을 서로 닮은 두 겹의 삼각형으로 읽어, 새로 생긴 선분의 길이를 모두 a, b, c로 값매김한다. 도구 #11(거꾸로 풀기)은 같은 그림을 반대 방향으로 돌려서, 변에 대한 등식이 각 조건의 결과일 뿐 아니라 각 조건과 동치임을 확인한다. 마지막으로 도구 #14(극단의 원리)가 둘레를 2b와 3b 사이에 가두어 b를 한 자리 수로 묶고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 남은 몇 개를 훑는다.
마주 보는 각으로 변에 이름 붙이기
세 변에 a, b, c를 붙입니다.
각 위에서는 정수를 찾을 수 없으므로, 각에 대한 사실을 길이에 대한 사실로 다시 써야 한다.
9.A-CED.A.2Introduce A Variable각 B를 잘라 A의 복사본 만들기
이등분하면 이등변삼각형이 생깁니다.
두 배인 각을 반으로 자르면 그림 속에 ∠ A가 하나 더 생기고, 같은 두 각은 언제나 이등변삼각형을 남긴다.
두 배가 된 각을 반으로 가르면 작은 각의 복사본이 하나 더 생기고, 같은 두 각은 이등변삼각형을 남긴다.
▸ 왜?
각은 다시 그것으로 더해지는 조각으로 나눌 수 있으므로, 두 배가 된 각은 참으로 두 벌을 품는다.
▸ 왜?
삼각형의 같은 두 각은 같은 두 변을 마주 보므로, 그 나눔이 길이의 같음을 내준다.
안쪽에 숨은 축소판 찾기
작은 삼각형이 원래와 닮음입니다.
작은 삼각형은 전체를 a/b배로 줄인 축소판이므로, 새 길이는 모두 옛 길이에 그 한 배율을 곱한 값이다.
10.G-SRT.A.2Organize Information In More WaysAD를 두 가지 방법으로 재기
두 표현을 맞대면 b제곱은 a 곱하기 a 더하기 c입니다.
한 선분을 서로 다른 두 경로로 계산하는 것이 그림을 식으로 바꾸는 가장 흔한 방법이다.
9.A-CED.A.1Convert To Algebra바꿔치기가 양방향인지 확인하기
역방향도 성립해 조건이 완전히 같습니다.
같은 그림을 거꾸로 읽으면, 변에 대한 등식이 각 조건의 결과가 아니라 각 조건 그 자체를 다시 쓴 것임이 드러난다.
10.G-SRT.B.5Work Backwards허용되는 정수를 정확히 읽어 내기
b가 a와 2a 사이여야 합니다.
c를 a와 b로 써 놓는 순간, 삼각부등식 세 개는 a ＜ b ＜ 2a라는 하나의 띠로 뭉쳐진다.
9.A-CED.A.3Convert To Algebra둘레를 두 값 사이에 가두기
둘레가 2b와 3b 사이임을 씁니다.
둘레를 가운데 변에 대고 눌러 가두면 끝없던 탐색이 b 몇 개를 확인하는 일로 줄어든다.
9.A-REI.B.3Extreme Principle허용된 값을 모두 확인하고 끝내기
4-6-5 삼각형이 둘레 15를 냅니다.
b가 한 자리로 묶이고 나면 남는 질문은 b 바로 아래의 어떤 수가 b²를 나누는가 하나뿐이다.
6.NS.B.4Make A Systematic List한 각이 다른 각의 두 배라면 큰 각을 반으로 잘라 보라. 그때 생기는 작은 각의 복사본이 각에 대한 사실을 변의 길이에 대한 평범한 등식으로 바꿔 준다.
- 마주 보는 각으로 변에 이름 붙이기
- 각 B를 잘라 A의 복사본 만들기
- 안쪽에 숨은 축소판 찾기
- AD를 두 가지 방법으로 재기
- 바꿔치기가 양방향인지 확인하기
- 허용되는 정수를 정확히 읽어 내기
- 둘레를 2b와 3b 사이에 가두기
- 허용된 b를 모두 확인하고 끝내기