AMC 10 · 2024 · #24
학년 10 geometry-2dcounting답을 골라 클릭하세요.
높이를 직접 뒤지는 것은 다루기 까다로우므로, 먼저 뒤질 수 있는 대상으로 바꿔야 한다. 넓이에 이름을 붙이면 높이 하나가 변의 길이 하나로 바뀌고, 결국 세 변은 공통의 배율 하나를 곱한 1/a, 1/b, 1/c가 된다. 이 한 수가 두 가지를 한꺼번에 해결한다. 그런 높이를 가진 삼각형이 언제 존재하는지 알려 주고, 내접원 반지름을 깔끔한 항등식 하나로 접어 준다. 그다음은 정수 위의 부등식 조이기뿐이고, 여기서 극단의 원리가 값을 한다. 가장 작은 높이 a와 가장 큰 높이 c가 각각 r의 배수 사이에 못 박히면서 r의 후보가 셋으로 줄고 경우도 몇 개 남지 않는다. 살아남은 각 경우에서는 필요한 역수의 합이 이미 최댓값이나 최솟값에 닿아 있어서, 등호가 세 값을 한 번에 확정한다.
높이를 변의 길이로 바꾸기
각 변은 넓이 나누기 높이에 비례합니다.
넓이가 정해져 있으면 밑변이 길수록 높이는 낮아야 하므로, 변은 높이를 뒤집어 놓은 것이다.
정해진 넓이를 더 긴 밑변에 펼치면 높이가 낮아지므로, 변은 높이를 뒤집은 것이다.
▸ 왜?
넓이는 밑변 곱하기 높이의 절반이므로, 넓이가 정해지면 둘이 서로 맞물린다.
▸ 왜?
곱이 정해져 있으면 한쪽은 상수 배를 빼고는 다른 쪽의 역수다.
내심에서 삼각형 자르기
세 역수의 합이 내접원 반지름의 역수입니다.
내접원 덕분에 작은 삼각형 셋의 높이가 모두 r로 같아지므로 넓이가 한 줄로 정리되고, 그 과정에서 넓이 자체가 약분되어 사라진다.
10.G-C.A.3Identify Subproblems그런 삼각형은 언제 존재하는가
세 양수 높이는 배율만 맞추면 언제나 실현됩니다.
변의 비가 모양을 정하고 크기만 자유롭게 남으므로, 배율이라는 손잡이 하나만 돌리면 높이를 원하는 값에 정확히 맞출 수 있다.
10.G-SRT.A.2Solve An Easier Related Problem퇴화하지 않을 조건은 부등식 하나
조건은 역수들의 삼각부등식입니다.
너무 길어서 닫히지 않을 수 있는 변은 가장 긴 변뿐이고, 정렬된 값을 역수로 뒤집으면 가장 작은 높이가 가장 긴 변이 된다.
7.G.A.2Convert To Algebra가장 작은 높이와 가장 큰 높이 못 박기
조여 보면 반지름이 1, 2, 3뿐입니다.
세 역수를 모두 가장 큰 것으로, 다시 모두 가장 작은 것으로 바꿔 보면 합이 간단한 두 분수 사이에 갇히고, a와 c가 r의 배수에 밀착된다.
9.A-CED.A.3Extreme Principle세 값을 훑기
각 경우 세 높이가 모두 같은 삼각형뿐입니다.
어느 경우든 필요한 역수의 합이 이미 창이 허용하는 극단에 닿아 있는데, 합이 자기 한계에 닿는 것은 항들이 모두 같을 때뿐이다.
5.NF.A.1Make A Systematic List개수를 세고 패턴 읽기
살아남는 순서쌍은 3개입니다.
정삼각형에서는 내접원 반지름이 언제나 높이의 3분의 1이므로, 답은 결국 9 이하인 3의 배수들이다.
7.RP.A.2Look For A Pattern높이는 변을 뒤집어 놓은 것이고, 1/r = 1/a + 1/b + 1/c를 써 놓는 순간 기하는 사라진다. 단위분수 셋이 또 다른 단위분수가 되도록 더해지면서도 삼각형으로 닫힐 만큼 크기가 서로 비슷해야 하는데, 그것을 해내는 것은 정삼각형뿐이다.
- 높이를 변의 길이로 바꾸기
- 내심에서 삼각형 자르기
- 그런 삼각형은 언제 존재하는가
- 퇴화하지 않을 조건은 부등식 하나
- 가장 작은 높이와 가장 큰 높이 못 박기
- r = 1, 2, 3을 훑기
- 개수를 세고 패턴 읽기