AMC 10 · 2024 · #3

학년 8 arithmetic
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In
interval-arithmeticestimationsystematic-enumeration convert-to-algebrabound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: interval-arithmeticorder-of-operationsestimation
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
부등식 2x의 절댓값이 7π 이하가 되도록 하는 정수 x가 몇 개인지 세세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
16
(B)
17
(C)
19
(D)
20
(E)
21
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기

주어진 것은 절댓값 부등식과 무리수 경계 — 도구 #13(대수로 바꾸기)이 가장 자연스러운 출발점입니다. |2x| ≤ 7π 를 -7π ≤ 2x ≤ 7π 로 풀어내고 양변을 2로 나누어 -7π/2 ≤ x ≤ 7π/2를 얻습니다. 깨끗한 수직선 구간이 잡힌 뒤에는 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 마무리 — 7π/2 ≈ 10.996 이므로 정수 -10, -9, …, 10을 순서대로 적고 개수를 세면 됩니다.

1STEP 1

절댓값 풀기

조건이 두 부등식 사이로 펼쳐집니다.

|2x| ≤ 7π ⟺ -7π ≤ 2x ≤ 7π
2STEP 2

2로 나누기

경계가 7π 나누기 2가 됩니다.

-7π/2 ≤ x ≤ 7π/2
3STEP 3

소수로 어림하기

약 10.996이라 11에 아슬아슬하게 못 미칩니다.

7π/2 ≈ 21.991/2 ≈ 10.996
4STEP 4

정수 나열하기

마이너스 10부터 10까지가 들어옵니다.

x ∈ {-10, -9, -8, …, -1, 0, 1, …, 9, 10}
5STEP 5

개수 세기

모두 21개입니다.

10 - (-10) + 1 = 21 → (E)
정답
21
경계 확인: x = 11은 정말로 안 되는가? |2 · 11| = 22, 7π ≈ 21.99 ＜ 22 이므로 통과 못함 — 맞음. x = 10은 되는가? |2 · 10| = 20 ＜ 21.99 이므로 통과 — 맞음. 구간 [-10, 10] 에는 정수 21 개가 들어 있어서 (E)와 일치.
💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 사실 8학년 "무리수 어림"과 6학년 "절댓값"만 알면, 7π/2 ≈ 10.996 이라는 사실로 -10부터 10까지 세서 답이 나와요!

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