AMC 10 · 2024 · #5

학년 6 algebra
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search
sequences-arithmeticperfect-squaressystematic-enumeration convert-to-algebrabound-inequality-then-enumeratesystematic-enumeration ↑ 선수 지식: sequences-arithmeticlinear-equations-one-var
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
1 더하기 3 더하기 5 더하기 하고 97 더하기 99, 곧 처음 50개 홀수의 합에서 시작합니다. 멜라니가 몇 개의 더하기 기호를 빼기로 바꿔 값을 음수로 만들려고 합니다. 그렇게 만들 수 있는 최소 변경 횟수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
14
(B)
15
(C)
16
(D)
17
(E)
18
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기

도구 #13(대수로 바꾸기)으로 "+ 를 - 로 바꾼다" 라는 말을 깔끔한 식으로 옮깁니다 — 숫자 x 의 부호 한 번을 뒤집으면 원래 합 S = 2500 에서 2x 가 깎이므로, 새 합 = 2500 - 2 · (뒤집힌 수들의 합)이고 이게 ＜ 0 이려면 뒤집은 수들의 합이 1250 보다 커야 합니다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 전략적 통찰 — "몇 번 뒤집지?" 대신 "한 번에 얼마나 줄일 수 있지?" 로 시선을 옮기면 답은 "큰 수부터 뒤집기". 도구 #6(추측하고 확인하기)은 마지막 마무리 — k = 14, 15 두 후보를 닫힌 식에 직접 넣어 확인합니다.

1STEP 1

전체 합 구하기

처음 50개 홀수의 합은 2500입니다.

S = 1 + 3 + 5 + … + 99 = 50² = 2500
2STEP 2

부호 하나의 값어치

한 번 바꿀 때마다 그 수의 두 배만큼 줄어듭니다.

S_new = 2500 - 2F, F = Σ_뒤집힌 x
3STEP 3

목표 부등식 세우기

바꾼 수들의 합이 1250을 넘어야 합니다.

2500 - 2F ＜ 0 ⟺ F ＞ 1250
4STEP 4

큰 수부터 담기

k개를 담으면 최대 k 곱하기 100 빼기 k입니다.

k 번 뒤집기의 최대 합 = 99 + 97 + … + (101 - 2k) = k(100 - k)
5STEP 5

경계에서 확인하기

14개로는 모자라고 15개면 넘습니다.

k = 14: 14 · 86 = 1204 ≯ 1250 (실패) k = 15: 15 · 85 = 1275 ＞ 1250 (성공) → (B)
정답
15
k = 15의 뒤집기를 직접 검증합니다. 가장 큰 홀수 71, 73, …, 99의 15 개를 뒤집으면 그들의 합 1275 만큼이 양에서 음으로 옮겨가 새 합은 2500 - 2 · 1275 = -50 ＜ 0. 정말로 음수가 됩니다. k = 14의 가장 효율적인 뒤집기 (73, 75, …, 99)의 합은 1204 라 새 합은 2500 - 2 · 1204 = 92 ＞ 0 — 불가능. 그래서 최소값은 정확히 15, (B)와 일치.
💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 사실 6학년 부등식("새 합이 음수" 를 F ＞ 1250으로 옮기기)과 5학년 다자릿수 곱셈만 알면, 큰 홀수부터 뒤집어서 15 번에서 경계를 넘긴다는 게 보여요!

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