AMC 10 · 2024 · #8

학년 11 algebra
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation
logarithm-propertiesfraction-arithmeticexponents convert-to-algebrawork-backwards ↑ 선수 지식: logarithm-propertiesfraction-arithmetic
📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
어떤 수 x가 다음을 만족합니다. 로그 2 밑의 x와 로그 3 밑의 x를 곱한 값을 두 로그의 합으로 나누면 정확히 2가 됩니다. 그 x를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
25
(B)
32
(C)
36
(D)
42
(E)
48
풀이 과정
전략 다르게 정리하기

정면으로 부딪히면 양변에 분모를 곱해 log₂ x · log₃ x = 2(log₂ x + log₃ x)가 되는데, 이는 미지수가 둘인 문제처럼 보여 진도가 나가지 않는다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 배치가 방해가 되면 다시 쓰라고 말한다. 여기서 쓸모 있는 재배치는 방정식을 통째로 뒤집는 것이다. 곱 위에 합이 올라가면 그 합은 깔끔한 두 개의 역수로 갈라지기 때문이다. 그다음 도구 #16(관점 바꾸기)이 결정타를 날린다: 로그의 역수는 밑과 진수를 맞바꾼 로그이므로, 밑 2와 밑 3을 묻는 대신 밑 x를 묻게 되고, 밑 x에서는 두 항이 하나로 합쳐진다. 마지막으로 도구 #11(거꾸로 풀기)로 마무리한다. 로그 하나의 값이 정해지면 로그의 정의를 거꾸로 읽어 x를 되찾으면 된다.

1STEP 1

양변을 뒤집기

뒤집으면 우변이 2분의 1이 됩니다.

(log₂ x + log₃ x)/(log₂ x · log₃ x) = 1/2
2STEP 2

분수를 둘로 쪼개기

각 항이 로그의 역수가 됩니다.

(log₂ x)/(log₂ x · log₃ x) + (log₃ x)/(log₂ x · log₃ x) = 1/(log₃ x) + 1/(log₂ x) = 1/2
3STEP 3

로그의 밑 바꾸기

역수는 밑이 뒤바뀐 로그입니다.

1/(log_b x) = log_x b ⟹ log_x 3 + log_x 2 = 1/2
4STEP 4

두 로그를 하나로 합치기

합치면 로그 x 밑의 6이 됩니다.

log_x 2 + log_x 3 = log_x (2 · 3) = log_x 6 = 1/2
5STEP 5

로그를 풀어 x 구하기

제곱근이 6이니 x는 36입니다.

log_x 6 = 1/2 ⟹ x¹/2 = 6 ⟹ x = 6² = 36 → (C)
정답
36
x = 36을 원래 식에 다시 대입해 본다. log₂ 36 = (ln 36)/(ln 2) ≈ 3.5835/0.6931 ≈ 5.1699이고 log₃ 36 = 3.5835/1.0986 ≈ 3.2619이다. 곱은 약 16.863, 합은 약 8.432이므로 16.863/8.432 ≈ 2.000이 되어 방정식이 성립한다. 구조로도 확인된다: 답이 두 밑의 곱을 제곱한 (2 · 3)² 꼴로 나왔고 목표값이 2였다. 일반적으로 (log_a x · log_b x)/(log_a x + log_b x) = k이면 x = (ab)^k가 된다. 다른 선택지가 안 되는지도 빠르게 본다: x = 32이면 log₂ 32 = 5, log₃ 32 ≈ 3.1546이므로 15.773/8.1546 ≈ 1.934로 2가 아니다.
💡핵심 정리

로그가 지저분한 분수에 갇혀 있으면 방정식을 통째로 뒤집어라. log₂ x의 역수는 그냥 log_x 2이고, 두 로그의 밑이 x로 같아지면 log_x 6 하나로 합쳐진다.

  • 양변을 뒤집기
  • 분수를 둘로 쪼개기
  • 로그의 밑 바꾸기
  • 두 로그를 하나로 합치기
  • 로그를 풀어 x 구하기

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