AMC 10 · 2025 · #12

학년 11 algebra
유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Uniform Pair-Sum Recovery
harmonic-meanvieta-formulasquadratic-equationspolynomial-roots identify-subproblems ↑ 선수 지식: vieta-formulasquadratic-equations
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
차수 4050의 다항식이 1부터 2025까지의 각 k에 대응하는 2025개의 이차식의 곱으로 주어진다. k번째 인수는 k x² - 4x - 3이다. 모든 인수는 같은 중간 계수 -4와 같은 상수항 -3을 공유하고, 오직 최고차 계수 k만 달라진다. 모든 실수 근의 조화평균을 구하여라. 여기서 n개의 수의 조화평균은 n을 그 역수들의 합으로 나눈 값이다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$-\frac{5}{3}$
(B)
$-\frac{3}{2}$
(C)
$-\frac{6}{5}$
(D)
$-\frac{5}{6}$
(E)
$-\frac{2}{3}$
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

차수 4050의 다항식을 손으로 전개하는 것은 불가능하므로, 핵심 전략은 이미 인수분해되어 있다는 점을 알아채는 것이다. 곱은 하나의 인수가 0일 때 정확히 0이 되므로, 그 근은 2025개의 개별 이차식의 근일 뿐이다. 이로써 하나의 거대한 문제가 2025개의 똑같이 생긴 작은 문제로 쪼개진다. 조화평균은 근들의 역수 합만 필요로 하고, 비에타 공식이 이차식을 풀지 않고도 그 합을 주므로, 모든 이차식이 같은 고정된 값을 기여하게 된다. 이차식 하나를 다루면 모두가 한꺼번에 해결된다.

1STEP 1

곱을 이차식 인수들로 쪼개기

곱은 한 인수가 0일 때만 0이므로, 근은 2025개 이차식 k x² - 4x - 3의 근을 모은 것일 뿐이다. 전개할 필요가 없다.

Π_k=1²⁰²⁵(k x² - 4x - 3) = 0 ⇔ k x² - 4x - 3 = 0 for some k
2STEP 2

각 이차식이 두 실수 근을 가짐을 확인하기

판별식 16 + 12k는 늘 양수라 각 이차식이 두 실수 근을 가진다: 2025 × 2 = 4050개 실수 근으로 차수와 같다.

Δ_k = (-4)² - 4(k)(-3) = 16 + 12k ＞ 0 (k ≥ 1)
3STEP 3

근이 아니라 역수의 합을 겨냥하기

4050개 근을 다 찾을 필요 없다: 조화평균은 역수의 총합이라는 한 수만 필요하니 그 합을 곧장 겨냥한다.

HM = 4050/(Σ_i=1⁴⁰⁵⁰ 1/r_i)
4STEP 4

각 이차식은 똑같이 -43\frac{4}{3}을 기여한다

비에타로 1p\frac{1}{p} + 1q\frac{1}{q} = p+qpq\frac{p+q}{pq} = -bc\frac{b}{c}이고 최고차 계수가 약분되니, 각 이차식은 -bc\frac{b}{c} = -43\frac{4}{3}을 기여한다.

1/p + 1/q = (p+q)/pq = -b/a/c/a = -b/c = --4/-3 = -4/3
5STEP 5

조각들을 더하고 나누기

2025조각 모두 -43\frac{4}{3}이라 역수 합은 2025 × (-43\frac{4}{3}) = -2700; 4050을 -2700으로 나누면 -32\frac{3}{2}, 선택지 (B)이다.

Σ_i=1⁴⁰⁵⁰ 1/r_i = 2025 · (-4/3) = -2700, HM = 4050/-2700 = -3/2
정답
-3/2
조화평균은 정확히 -32\frac{3}{2}으로 나왔고, 이는 이차식 k x² - 4x - 3 하나가 스스로 주는 값과 같다. 이것은 강력한 일관성 검증이다. 어떤 모음의 모든 그룹이 같은 조화평균을 가지면 전체 모음도 그 조화평균을 가진다. 부호도 타당하다. 각 근 쌍은 1p\frac{1}{p} + 1q\frac{1}{q} = -43\frac{4}{3} ＜ 0을 만족하므로 역수가 전체적으로 음수 쪽으로 기울고, 이는 음의 조화평균을 강제하며 실제로 음수 값만 선택지에 나온다. 크기 32\frac{3}{2}도 주어진 선택지들 사이에 무리 없이 놓인다.
💡핵심 정리

거대한 다항식이 이미 곱으로 되어 있으면 그 근은 인수들의 근일 뿐이고, 조화평균은 역수의 합만 필요로 하는데 비에타 공식이 근을 하나도 풀지 않고 그 합을 건네준다.

  • 곱을 이차식 인수들로 쪼개기
  • 각 이차식이 두 실수 근을 가짐을 확인하기
  • 근이 아니라 역수의 합을 겨냥하기
  • 각 이차식은 똑같이 -43\frac{4}{3}을 기여한다
  • 조각들을 더하고 나누기

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