AMC 10 · 2025 · #19

학년 11 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

vieta-formulassymmetric-polynomialspolynomial-factoringpolynomial-roots identify-subproblems ↑ 선수 지식: vieta-formulas

📏 긴 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

수 k는 정해져 있지만 값은 알려져 있지 않다. 세 수 a, b, c는 삼차식 x³ + kx + 1의 근으로, 각각을 대입하면 이 삼차식이 0이 된다. 우리는 긴 대칭합 a³b² + a²b³ + b³c² + b²c³ + c³a² + c²a³의 값을 k에 대한 식으로 구해야 한다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-k

(B)

-k+1

(C)

(D)

k-1

(E)

풀이 과정

전략 변수 도입하기

근 a, b, c는 하나씩 구하지 않으며, 그럴 필요도 없다. 근에 대해 대칭인 모든 식은 세 개의 기본 대칭식 e1 = a+b+c, e2 = ab+bc+ca, e3 = abc로 다시 쓸 수 있고, 비에트 공식은 이 세 수를 다항식의 계수에서 바로 읽어낸다. 그래서 계획은 이 대칭량들을 이름 붙이고, S의 구조를 이용해 e1, e2, e3만 남을 때까지 접은 뒤, 알려진 값을 대입하는 것이다. 접는 과정을 짧게 만드는 결정적 행운은 e1 = 0인데, 이것이 묶은 각 이항식을 한 번에 무너뜨린다.

1STEP 1

인수분해된 삼차식 전개하기

a, b, c가 근이므로 삼차식은 (x-a)(x-b)(x-c)이고, 전개하면 x³ - (a+b+c)x² + (ab+bc+ca)x - abc이다.

(x-a)(x-b)(x-c) = x³ - (a+b+c)x² + (ab+bc+ca)x - abc

2STEP 2

비에트 관계 읽어내기

계수를 비교하면 a+b+c = 0, ab+bc+ca = k, abc = -1이 나오고, 필요한 근 정보는 이게 전부다.

a+b+c = 0, ab+bc+ca = k, abc = -1

3STEP 3

공통 제곱으로 묶기

공통 제곱으로 묶으면 S = a²b²(a+b) + b²c²(b+c) + c²a²(c+a)이 된다.

S = a²b²(a+b) + b²c²(b+c) + c²a²(c+a)

4STEP 4

a+b+c = 0 사용하기

a+b+c = 0이므로 각 이항식은 빠진 근의 음수(a+b = -c 등)이고, S = -(a²b²c + ab²c² + a²bc²)이 된다.

a+b=-c, b+c=-a, c+a=-b → S = -(a²b²c + ab²c² + a²bc²)

5STEP 5

abc 뽑아내기

각 항에서 abc를 뽑으면 S = -abc(ab + bc + ca)가 남고, 둘 다 아는 비에트 양이다.

S = -abc (ab + bc + ca)

6STEP 6

알려진 값 대입하기

abc = -1과 ab+bc+ca = k를 대입하면 S = -(-1)(k) = k, 곧 보기 (E)이다.

S = -abc (ab+bc+ca) = -(-1)(k) = k

정답

결과는 단 하나의 기본 대칭량 S = -e2*e3 = k인데, 이는 e1 = 0을 쓰고 나면 대칭식이 마땅히 무너져야 할 깔끔한 형태다. 수치 확인으로도 맞다. k = 2일 때 삼차식 x³ + 2x + 1의 세 근에 대한 합 a³b² + ... + c²a³은 2가 되고, k = -3일 때 같은 합은 -3이 되어 언제나 k와 일치한다. -k, -k+1, 1, k-1 같은 보기는 각각 대수가 절대 만들어내지 않는 엉뚱한 부호나 상수를 필요로 한다.

💡핵심 정리

근에 대한 지저분한 대칭합은 보기만큼 무섭지 않다. a+b+c, ab+bc+ca, abc로 다시 쓰면 되는데, 이것들은 계수에서 바로 읽어낼 수 있고, 여기서는 그냥 k로 녹아내린다.

인수분해된 삼차식 전개하기
비에트 관계 읽어내기
공통 제곱으로 묶기
a+b+c = 0 사용하기
abc 뽑아내기
알려진 값 대입하기