AMC 10 · 2025 · #20
학년 10 geometry-3d
답을 골라 클릭하세요.
이 입체에는 곧바로 쓸 부피 공식이 없으므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 계획 전체를 이끈다. 일을 (a) 빠진 마루선 높이 구하기, (b) 이미 잴 줄 아는 모양들로 입체 자르기로 나눈다. 도구 #17(공간 상상하기)은 직사각형 위 텐트 같은 마루선이라는 머릿속 그림을 주고, 그림을 좌표에 옮겨 빗변 모서리를 3차원 거리로 바꾸게 한다. 도구 #1(그림 그리기)은 그 좌표를 종이에 고정해 높이를 깔끔한 3차원 피타고라스 계산으로 만들고, 자연스러운 절단면을 보이게 한다: 마루선 양 끝을 지나는 두 수직면이 입체를 가운데 각기둥과 양 끝 각뿔로 갈라 준다.
마루선 높이 구하기
밑면 꼭짓점 O₁을 원점, 마루선 끝을 T₁=(3,4,H)로 두면 O₁T₁=13에서 3²+4²+H²=169, 마루선 높이는 12.
3차원에서도 직선 거리는 여전히 √((Δ x)²+(Δ y)²+(Δ z)²)이므로 길이를 아는 빗변이 높이를 못 박는다.
8.G.B.7Visualize Spatial Relationships각기둥 하나와 각뿔 둘로 자르기
마루선 끝을 지나는 x=3, x=10 수직면으로 자르면 단면이 일정한 가운데는 각기둥, 모서리가 한 점으로 모이는 양 끝은 각뿔이다.
비스듬한 덩어리는 모양이 변하지 않는 곳에서 자르는 순간 쉬워진다 — 일정한 단면은 각기둥을 만들고, 남은 각 끝은 한 꼭짓점으로 모여 각뿔이 된다.
10.G-GMD.A.1Identify Subproblems가운데 각기둥의 부피
일정한 단면은 넓이 ·8·12=48인 삼각형이고, 기둥 길이 7을 곱하면 336이다.
각기둥은 단면을 길이만큼 쌓은 것일 뿐이므로 부피는 단면 넓이 곱하기 길이이다.
7.G.B.6Identify Subproblems양 끝 각뿔 둘의 부피
양 끝은 3 × 8 밑면에 높이 12인 각뿔로 부피 ·24·12=96, 둘을 합하면 192이다.
어떤 각뿔이든 같은 밑면과 높이로 세운 기둥의 정확히 3분의 1을 담는다.
어떤 뿔이든 같은 밑면과 높이의 상자의 정확히 3분의 1을 담는다.
▸ 왜?
한 점으로 고르게 좁아지는 입체는 같은 밑면과 높이의 곧은 입체의 3분의 1을 채운다.
▸ 왜?
그 곧은 입체는 밑넓이가 끝까지 반복된 것이므로, 둘 다 같은 두 수로 재어진다.
조각들 더하기
가운데 각기둥 336과 양 끝 각뿔 192를 더하면 528 — 선택지 (C).
입체를 겹치지 않는 조각으로 자르면 부피는 그대로 다시 더해져 전체가 된다.
7.G.B.6Identify Subproblems부피 공식이 없는 입체는 모양이 변하지 않는 곳에서 잘라라: 변함없는 가운데는 각기둥이 되고, 남은 양 끝은 재서 더할 수 있는 각뿔이 된다.
- 마루선 높이 구하기
- 각기둥 하나와 각뿔 둘로 자르기
- 가운데 각기둥의 부피
- 양 끝 각뿔 둘의 부피
- 조각들 더하기
비슷한 유형 더 풀어보기
같은 archetype · 비슷한 학년부터.
