AMC 10 · 2025 · #21

학년 11 algebranumber-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

sequences-geometricdifference-of-squaresprime-factorizationexponentsparity identify-subproblems ↑ 선수 지식: sequences-geometricprime-factorization

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

커다란 분수의 분자와 분모는 각각 유한 등비합 형태입니다. 지수는 a, a+k, a+2k, …, a+mk로 흐르고, 분자는 밑이 4, 분모는 밑이 2입니다. 이 분수 전체가 964와 같습니다. 이를 만족하는 음이 아닌 정수 순서쌍 (a,k,m)은 딱 하나뿐이며, a+k+m을 구합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

미지수 세 개짜리 방정식에 합이 겹겹이 쌓여 있어 정면 돌파는 막막합니다. 그래서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 전체 경로를 잡습니다. 먼저 거대한 분수를 작은 것으로 짓뭉갠 뒤, 미지수를 하나씩 벗겨냅니다. 짓뭉개는 단계의 힘은 도구 #5(패턴 찾기)에서 나옵니다. 분자 합이 분모 합에서 2^k를 2²k로 바꾼 꼴임을 알아채면 제곱의 차 소거가 나타나, 괴물 같은 식이 2^a·(2^k(m+1)+1)/(2^k+1)로 줄어듭니다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)이 정수론적 마무리를 합니다. 964=2²·241이 짝수 부분과 홀수 소수로 깔끔히 갈라지므로, 짝수는 짝수끼리 홀수는 홀수끼리 맞추면 a, 그다음 k, 그다음 m이 추측 없이 정해집니다.

1STEP 1

두 합을 닫힌 형태로 쓰기

각 줄은 등비수열; 유한합 공식 1+r+…+r^m= $\frac{r^(m+1)-1}{r-1}$ 로 두 줄을 하나의 닫힌 비로 압축합니다.

2²a·(4^k(m+1)-1)/(4^k-1){2^a·(2^k(m+1)-1)/(2^k-1)} = 2^a·(4^k(m+1)-1)/(4^k-1)·(2^k-1)/(2^k(m+1)-1)

2STEP 2

제곱의 차로 소거하기

밑 4는 2의 제곱; 분자 조각은 x²-1=(x-1)(x+1)이라 빼기 인수가 소거돼 2^a· $\frac{2^(k(m+1))+1}{2^k+1}$ =964.

2^a·(2^k(m+1)-1)(2^k(m+1)+1)/(2^k-1)(2^k+1)·(2^k-1)/(2^k(m+1)-1)=2^a·(2^k(m+1)+1)/(2^k+1)=964

3STEP 3

2의 거듭제곱을 갈라 a 정하기

k≥1이면 $\frac{2^(k(m+1))+1}{2^k+1}$ 는 홀수, 964=2²·241(241 소수)이라 모든 2의 인수는 2^a에서: a=2.

2^a=2² → a=2, (2^k(m+1)+1)/(2^k+1)=241

4STEP 4

k를 벗기고 이어서 m을 벗기기

정리: 2^k(2^(km)-241)=240=2⁴·15; 홀수부가 2^k=16을 정해 k=4, 2⁴m=256→m=2, a+k+m=2+4+2.

2^k (2^km-241)=240=2⁴ · 15 → 2^k=16, k=4; 2⁴m=256, m=2 → a+k+m=8 (A)

정답

(a,k,m)=(2,4,2)를 공식 없이 원래 식에 그대로 넣어 봅니다. 분자는 4²+4⁶+4¹⁰=16+4096+1,048,576=1,052,688, 분모는 2²+2⁶+2¹⁰=4+64+1024=1092입니다. 나누면

\frac{1,052,688}{1092}

=964로 정확히 맞아, 순서쌍이 확인되고 a+k+m=8입니다. 다른 선택지라면 다른 순서쌍이 필요하지만, 홀짝 분할(964의 유일한 홀수 소수 241과 240=16 · 15의 유일한 홀수 부분)이 다른 정수해를 남기지 않아, 순서쌍이 유일하다는 문제의 약속과 일치합니다.

💡핵심 정리

밑이 4인 합이 밑이 2인 합 위에 있으면 4가 2의 제곱임을 떠올리세요. 제곱의 차가 어수선함을 소거하고, 그다음 짝수는 짝수끼리 홀수는 홀수끼리 맞추면 모든 미지수가 잠깁니다.

두 합을 닫힌 형태로 쓰기
제곱의 차로 소거하기
2의 거듭제곱을 갈라 a 정하기
k를 벗기고 이어서 m을 벗기기

두 합을 닫힌 형태로 쓰기

제곱의 차로 소거하기

2의 거듭제곱을 갈라 a 정하기

k를 벗기고 이어서 m을 벗기기

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