AMC 10 · 2025 · #22

학년 10 probability

유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Uniform Draws to Favorable Volume

geometric-probabilityvolume-pyramidsymmetry-argumentprobability-basic physical-representationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: geometric-probability

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

0과 1 사이에서 세 수를 서로 독립적으로, 균등하게 무작위로 고른다. 이 세 수 중 가장 큰 수가 나머지 두 수 각각의 두 배보다 큰 확률을 구한다. (이는 주어진 보기와 맞아떨어지는 대회 조건의 해석이다.)

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{12}$

(B)

$\frac19$

(C)

$\frac18$

(D)

$\frac16$

(E)

$\frac14$

풀이 과정

전략 공간 상상하기

균등하게 세 수를 고르는 일은 단위 정육면체 안의 한 점을 무작위로 고르는 일과 같으므로, 확률이 곧 부피가 된다. '어느 수가 가장 큰가'라는 세 대칭 경우로 나누면, 그 계산은 하나의 입체(피라미드)의 부피를 피라미드 공식으로 바로 읽는 문제가 된다.

1STEP 1

확률을 부피로 바꾸기

세 수를 단위 정육면체 위의 무작위 점으로 보면, 사건의 확률은 그 영역의 부피와 같다.

P(event) = vol{(X,Y,Z)∈[0,1]³ : event holds}

2STEP 2

어느 수가 가장 큰가로 나누기

가장 큰 수는 하나뿐이니, 대칭으로 사건은 같은 세 경우로 갈려 전체는 X 경우의 3배이다.

P = P_X + P_Y + P_Z = 3 P_X

3STEP 3

조건을 부등식으로 쓰기

X가 지배하면 조건은 Y와 Z가 모두 $\frac{X}{2}$ 보다 작다는 뜻이고, 이는 이미 X를 가장 크게 만든다.

X ＞ 2Y and X ＞ 2Z ⇔ Y ＜ X/2, Z ＜ X/2

4STEP 4

영역을 피라미드로 보기

높이 X = x에서 (Y, Z)는 변 $\frac{x}{2}$ 인 정사각형을 채우고, 이들이 쌓여 원점이 꼭짓점인 피라미드가 된다.

cross-section side = x/2, 0 ≤ x ≤ 1

5STEP 5

그 피라미드의 부피

밑넓이 곱하기 높이의 $\frac{1}{3}$ 을 쓰면, X가 지배하는 경우의 확률은 $\frac{1}{12}$ 이다.

V = 1/3 · (1/2)² · 1 = 1/3·1/4 = 1/12

6STEP 6

세 배 하여 최종 답 구하기

겹치지 않는 같은 세 경우를 더하면 3 곱하기 $\frac{1}{12}$ = $\frac{1}{4}$ , 보기 (E)이다.

P = 3 · 1/12 = 1/4

정답

1/4

\frac{1}{4}

은 타당한 크기이다. 이는 가장 큰 수가 나머지 두 수의 단순한 합만 넘을 확률인

\frac{1}{2}

보다 확실히 작다. 이 순서는 맞는데, '각 상대의 두 배를 넘는다'는 '합을 넘는다'보다 더 어려운 조건이므로 확률이 더 작아야 하기 때문이다. 한 경우의 부피

\frac{1}{12}

도 단위 정육면체의 작은 구석임이 분명하고, 12분의 1을 세 배 하여 4분의 1이 되는 것도 일관된다.

💡핵심 정리

무작위로 수를 고를 때, 확률은 그 수들이 사는 도형이 얼마나 채워지는가일 뿐이다 — 여기서 이기는 영역은 정육면체의 12분의 1을 담는 피라미드이고, 그것 셋이 모여 4분의 1이 된다.

확률을 부피로 바꾸기
어느 수가 가장 큰가로 나누기
조건을 부등식으로 쓰기
영역을 피라미드로 보기
그 피라미드의 부피
세 배 하여 최종 답 구하기