AMC 10 · 2025 · #25

학년 11 algebracounting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

sign-analysispolynomial-rootsdomain-restrictioncombinations-basic work-backwardssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: sign-analysispolynomial-roots

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

두 삼차 다항식 P(x)와 Q(x)는 각각 최고차항의 계수가 1 (모닉)이고, 각 다항식의 모든 근은 {1,2,3,4,5}의 원소이다. 이들의 몫 f(x)=

\frac{P(x)}{Q(x)}

가 0 이하가 되는 곳이 정확히 하나의 닫힌구간 [a,b] 와 하나의 떨어진 열린구간 (c,d) (단 a ＜ b ＜ c ＜ d)의 합집합이 되도록 하는 순서쌍 (P,Q)의 개수를 센다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 거꾸로 풀기

부등식의 해집합이 주어지고 함수를 되찾으라는 문제이므로 도구 #11 (거꾸로 풀기)이 전체를 이끈다: 해집합의 모양을 읽어 f 가 어디서 0이 되고 어디서 발산해야 하는지 정한다. 도구 #4 (변수 도입하기)로 남은 세 번째 근 r, s 에 이름을 붙여 두 삼차식을 명시적으로 적는다. 도구 #1 (그림 그리기) — 수직선 위의 부호표 — 로 뼈대 몫이 이미 [a,b]∪(c,d)를 만들어냄을 증명한다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 f 를 그 뼈대와 작은 나머지 인수 (x-r)/(x-s)의 곱으로 나누고, 그 인수가 무엇을 해도 되는지 따로 물어 r=s 를 강제한다. 도구 #3 (가능성 지우기)으로 공유된 값 r 이 닫힌 조각이나 열린 조각을 깨뜨리는 배치를 배제하고, 도구 #2 (빠짐없이 나열하기)로 {a,b,c,d}의 다섯 가지 선택을 훑어 살아남는 경우를 더한다.

1STEP 1

끝점을 거꾸로 읽기

[a,b] 바깥에서 f 는 양수이고 끝점이 포함되므로 a,b 는 P 의 근, 열린 끝 c,d 는 Q 의 근(극점)이다.

f(a)=f(b)=0 → a,b 는 P 의 근; f 가 c,d 에서 정의 안 됨 → c,d 는 Q 의 근

2STEP 2

남은 근에 이름 붙이기

각 모닉 삼차식은 근 셋; a,b 밖의 자유 근 r 이 P 를, c,d 밖의 자유 근 s 가 Q 를 정한다.

P(x)=(x-a)(x-b)(x-r), Q(x)=(x-c)(x-d)(x-s), r,s∈{1,2,3,4,5}

3STEP 3

뼈대의 부호표 그리기

부호표로 g= $\frac{(x-a)(x-b)}{(x-c)(x-d)}$ 는 (a,b),(c,d) 에서만 음수, a,b 에서 0 — 곧 [a,b]∪(c,d).

g ＜ 0 인 곳: (a,b), (c,d); g=0 인 곳: a,b; 그 외는 g ＞ 0

4STEP 4

나머지 인수를 1로 만들기

f=g· $\frac{x-r}{x-s}$ 에서 나머지 인수가 부호를 못 뒤집으려면 r=s, 그러면 x=r 의 구멍만 빼고 1이다.

(x-r)/(x-s) ≥ 0 (정의되는 모든 x) ⇔ r=s, 그러면 x ≠ r 에서 (x-r)/(x-s)=1

5STEP 5

아무것도 깨지지 않게 구멍 놓기

x=r 의 구멍은 이미 제외된 자리에만 놓여야 하므로 r 은 [a,b]∪(c,d)를 피해야 한다.

r 유효 ⇔ r∈{1,2,3,4,5}∖([a,b]∪(c,d))

6STEP 6

다섯 배치를 나열해 더하기

다섯 중 넷을 골라 a,b,c,d 배치(5 가지), 유효한 r 은 3,2,3,2,3 개, 각각 한 순서쌍이니 합 13.

3+2+3+2+3=13 → (E)

정답

가장 빡빡한 배치를 손으로 시험한다. (a,b,c,d)=(1,2,3,4)에 r=3을 잡으면 P(x)=(x-1)(x-2)(x-3), Q(x)=(x-3)²(x-4) 이므로 구멍 x=3을 빼면 f(x)=

\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}

이다. f(1)=f(2)=0이고 (1,2)와 (3,4) 에서 음수, 그 외에서 양수, 3과 4 에서 정의되지 않아 정확히 [1,2]∪(3,4)이다. 금지되는 경우도 규칙을 확인해 준다: (1,2,3,4)에 r=2이면 x=2에 구멍이 생겨 [1,2]의 닫힌 끝을 깨뜨리므로 올바르게 제외된다. 배치별 개수 3,2,3,2,3은 각각 최대 3 (후보 값이 다섯뿐이고 최소 둘은 항상 금지) 이므로 총 13은 타당하며 (E)와 일치한다.

💡핵심 정리

닫힌 끝은 f 가 0이 되는 곳이고 열린 끝은 f 가 발산하는 곳이다. 뼈대 몫이 올바른 그림을 주고 나면 남은 자유는 구멍을 어디 숨길지뿐이고, 다섯 경계 배치에 걸쳐 그 구멍들을 세면 순서쌍 13 개가 나온다.

끝점을 거꾸로 읽기
남은 근에 이름 붙이기
뼈대의 부호표 그리기
나머지 인수를 1로 만들기
아무것도 깨지지 않게 구멍 놓기
다섯 배치를 나열해 더하기