AMC 10 · 2025 · #3

학년 8 algebra
유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Universe Total Minus Known
mean-median-mode-rangesystems-of-equationslinear-equations-two-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
학생 팀과 교사 팀을 합치면 모두 15명이다. 학생들의 평균 나이는 12살, 교사들의 평균 나이는 55살이다. 애쉬(Ash)가 학생 팀에 들어가면 평균이 14살로 오르고, 대신 교사 팀에 들어가면 평균이 52살로 내려간다. 애쉬의 나이를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
28
(B)
29
(C)
30
(D)
32
(E)
33
풀이 과정
전략 변수 도입하기

애쉬의 나이와 두 팀의 인원 수가 모두 미지수이므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 이들을 A, S, T로 이름 붙이고 S+T=15라는 관계를 고정한다. '애쉬가 들어가면'이라는 두 문장은 서로 다른 평균 조건이므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 두 상황을 각각 하나의 식으로 만들고, 도구 #13(대수로 바꾸기)로 전체 나이의 합 = 평균 × 인원 수를 이용해 각 평균 문장을 깔끔한 식으로 바꾼다. 두 개의 식과 인원 수 조건을 합치면 모든 미지수가 정해진다.

1STEP 1

미지수에 이름 붙이기

애쉬 나이 A, 학생 수 S, 교사 수 T, S+T=15. 애쉬가 각 평균을 다르게 바꾸니 인원 수를 따로 둔다.

S+T=15
2STEP 2

학생 상황을 식으로 바꾸기

학생 S명 합은 12S. 애쉬가 들면 S+1명 평균 14이므로 12S+A=14(S+1), 전개하면 A=2S+14.

12S+A=14(S+1) → A=2S+14
3STEP 3

교사 상황을 식으로 바꾸기

교사 T명 합은 55T. 애쉬가 들면 T+1명 평균 52이므로 55T+A=52(T+1), 전개하면 A=-3T+52.

55T+A=52(T+1) → A=-3T+52
4STEP 4

연립방정식으로 인원 수 구하기

둘 다 A와 같으니 2S+14=-3T+52, 즉 2S+3T=38. S=15-T 대입하면 30+T=38, 따라서 T=8, S=7.

2S+3T=38, S=15-T → 30+T=38 → T=8, S=7
5STEP 5

애쉬의 나이 계산하기

S=7을 A=2S+14에 넣으면 A=2(7)+14=28. 교사 식 A=-3(8)+52=28도 일치, 애쉬는 28살 — (A).

A=2(7)+14=28 → (A)
정답
28
애쉬의 나이는 두 팀 평균인 12와 55 사이에 있어야 하는데 실제로 28은 그 범위 안에 잘 들어간다. 두 평균을 직접 확인해 보자. 학생 팀은 12⋅7+288\frac{12 · 7+28}{8}=1128\frac{112}{8}=14가 되고, 교사 팀은 55⋅8+289\frac{55 · 8+28}{9}=4689\frac{468}{9}=52가 된다. 둘 다 맞으므로 28은 모든 조건과 어긋나지 않는다.
💡핵심 정리

전체 나이의 합은 평균 곱하기 사람 수이므로, 한 명이 늘면 그 사람의 나이만큼만 합에 더해진다 — 이 사실을 각 팀에 대해 식으로 쓰면 인원 수가 저절로 나온다.

  • 미지수에 이름 붙이기
  • 학생 상황을 식으로 바꾸기
  • 교사 상황을 식으로 바꾸기
  • 연립방정식으로 인원 수 구하기
  • 애쉬의 나이 계산하기

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