AMC 10 · 2025 · #4

학년 6 logic
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination
logical-deductionif-then-reasoningcasework systematic-enumeration ↑ 선수 지식: logical-deduction
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
Agnes는 네 개의 문장을 쓰는데, 각 문장은 네 문장 중 몇 개가 참인지 또는 거짓인지를 주장한다: "적어도 하나는 참이다", "적어도 둘은 참이다", "적어도 둘은 거짓이다", "적어도 하나는 거짓이다". 각 문장은 참이거나 거짓이다. 네 문장 중 몇 개가 거짓인지 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
0
(B)
1
(C)
2
(D)
3
(E)
4
풀이 과정
전략 변수 도입하기

문장들이 서로를 가리켜서 순환하는 것처럼 느껴지지만, 수 하나에 이름을 붙이면 풀린다. 도구 #4(변수 도입하기)로 참인 문장의 개수를 T라 두면 모든 주장이 T에 대한 간단한 크기 비교로 바뀐다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 각 문장을 부등식으로 다시 쓴다. 그리고 핵심: 어떤 T를 고르든, 그 부등식들 중 정확히 T개가 참이 되어야 한다. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 T의 다섯 가지 값을 모두 시험하고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 스스로 모순되는 값을 모두 버리면, 앞뒤가 맞는 개수 하나만 남는다.

1STEP 1

참인 문장의 개수에 이름 붙이기

참인 문장의 개수를 T라 하면 거짓은 4 - T개이고, T는 0, 1, 2, 3, 4 중 하나다.

T = 참인 문장의 개수, 4 - T = 거짓인 문장의 개수
2STEP 2

각 문장을 부등식으로 바꾸기

각 주장을 T 조건으로: S₁은 T ≥ 1, S₂는 T ≥ 2, S₃은 T ≤ 2, S₄는 T ≤ 3, 부등식이 성립할 때 참이다.

S₁: T ≥ 1, S₂: T ≥ 2, S₃: T ≤ 2, S₄: T ≤ 3
3STEP 3

스스로 확인하는 규칙 세우기

핵심: 네 부등식 중 성립하는 개수가 T와 같아야 하며, 다르면 그 T는 불가능하다.

#{이 T 에서 성립하는 부등식} = T
4STEP 4

가능한 다섯 개수를 모두 시험하기

하나씩: T=0→2, T=1→3, T=2→4, T=4→2는 모두 어긋나고, 오직 T = 3만 참 셋을 주어 거짓은 4 - 3 = 1개다.

T=0→2, T=1→3, T=2→4, T=3→3 ✓, T=4→2 → 4-T = 1
정답
1
T = 3을 원래 문장들에 다시 넣어 본다: 세 문장이 참이고 하나가 거짓이다. "적어도 하나는 참" — 참. "적어도 둘은 참" — 참. "적어도 둘은 거짓" — 하나만 거짓이므로 거짓. "적어도 하나는 거짓" — 참. 즉 참 셋, 거짓 하나로 T = 3과 정확히 일치하므로, 거짓 문장 1개라는 답은 앞뒤가 맞는다.
💡핵심 정리

문장들이 자기 중 몇 개가 참인지 말할 때는, 그 개수에 이름을 붙이고 자기 자신을 예측하는 개수만 남긴다.

  • 참인 문장의 개수에 이름 붙이기
  • 각 문장을 부등식으로 바꾸기
  • 스스로 확인하는 규칙 세우기
  • 가능한 다섯 개수를 모두 시험하기

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