AMC 10 · 2025 · #6

학년 7 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Ordered Placement Count

probability-basiccombinations-basicfundamental-counting-principle systematic-enumeration ↑ 선수 지식: combinations-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

원형 탁자 둘레에 번호가 매겨진 의자 6개가 놓여 있습니다. 학생 2명과 교사 2명이 그중 네 자리를 골라 각자 한 의자에 앉습니다. 두 학생이 서로 이웃한 두 의자에 앉고, 동시에 두 교사도 서로 이웃한 두 의자에 앉을 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac 16$

(B)

$\frac 15$

(C)

$\frac 29$

(D)

$\frac 3{13}$

(E)

$\frac 14$

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

이 문제는 똑같이 일어날 가능성이 있는 모든 배치 중 조건에 맞는 배치가 얼마만큼인지를 묻습니다. 그러므로 조건에 맞는 배치를 세어 전체 배치로 나누는 세기 문제입니다. 의자 6개를 원으로 그리면 '이웃'이 눈에 보이고, 세기를 '학생 쌍 고르기'와 '교사 쌍 고르기'로 나누면 나열이 깔끔해집니다. 수가 작으므로 어떤 공식보다 차근차근 나열하는 편이 빠르고 안전하며, 다섯 개의 선택지가 마지막 분수가 목록에 있는 값으로 떨어지는지 확인해 줍니다.

1STEP 1

맞는 경우를 전체 경우로 나누기

의자 6개를 원으로 그립니다. 어느 두 의자에 학생·교사가 앉는지로 배치가 정해지므로, 확률은 맞는 배치를 전체 배치로 나눈 값입니다.

P = (조건에 맞는 배치)/(전체 배치)

2STEP 2

전체 배치 세기

6개 중 학생 자리 2개(15쌍), 남은 4개 중 교사 자리 2개(6쌍): 15 × 6 = 90가지 배치.

(6 · 5)/2·(4 · 3)/2 = 15 · 6 = 90

3STEP 3

학생이 이웃인 경우 세기

원을 따라 이웃한 학생 쌍은 (1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,1)로 15가지 중 정확히 6가지입니다.

(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,1) → 6가지 이웃 쌍

4STEP 4

교사도 이웃인 경우 세기

학생이 1·2번에 앉으면 남은 자리 3,4,5,6은 한 줄이 되어 이웃 쌍이 3가지씩, 6 × 3 = 18가지가 맞습니다.

남은 자리 3,4,5,6: (3,4),(4,5),(5,6)→ 3; 6 · 3 = 18

5STEP 5

나누어 확률 구하기

맞는 배치를 전체로 나눕니다: $\frac{18}{90}$ = $\frac{1}{5}$ , 곧 선택지 (B). 교사 쌍을 6으로 잘못 세면 $\frac{2}{5}$ 가 나오는데 목록에 없습니다.

P = 18/90 = 1/5

정답

1/5

결과

\frac{18}{90}

\frac{1}{5}

= 0.2는 모든 확률이 그래야 하듯 0과 1 사이에 있고, 5분의 1이라는 값은 꽤 특별한 배치 형태에 어울립니다. 다른 방법도 같은 값을 줍니다: 두 교사만 이웃 의자에 앉을 확률은

\frac{6}{15}

\frac{2}{5}

이고, 그렇게 되면 남은 네 의자가 한 줄로 늘어서 학생 쌍 6가지 중 3가지가 이웃이므로 확률은

\frac{1}{2}

입니다. 곱하면

\frac{2}{5}

곱하기

\frac{1}{2}

\frac{1}{5}

로 세기가 확인됩니다.

💡핵심 정리

확률을 구하려면 원하는 배치와 전체 배치를 센 뒤 나누면 되고, 원형 탁자에서 남은 자리들은 한 줄이 되어 이웃 쌍을 하나 잃는다는 점을 기억하세요.

맞는 경우를 전체 경우로 나누기
전체 배치 세기
학생이 이웃인 경우 세기
교사도 이웃인 경우 세기
나누어 확률 구하기

맞는 경우를 전체 경우로 나누기

전체 배치 세기

학생이 이웃인 경우 세기

교사도 이웃인 경우 세기

나누어 확률 구하기

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