AMC 10 · 2025 · #7

학년 11 algebra

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Multiplicative Rate or Series

logarithm-propertiesexponentsformula-substitution convert-to-algebra ↑ 선수 지식: logarithm-propertiesexponents

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 생물의 최고 속도는 v = kn^am^b 라는 식을 따른다. 여기서 n은 발가락 수, m은 눈의 수이고 k, a, b는 정수 상수다. 발가락이 모두 5개인 집단에서는 log v = 4 + 2 log m 이고, 눈이 모두 25개인 집단에서는 log v = 4 + 4 log n 이다(밑이 10인 로그). k + a + b를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

이 식은 거듭제곱들을 곱한 형태이고, 두 단서는 로그로 쓰여 있다. 식에 로그를 취하면 곱이 합으로 바뀌어 주어진 로그 식들과 항끼리 나란히 놓인다. 양쪽이 같은 모양이 되면 지수와 상수가 서로 일치해야 하므로, 짐작 없이 a, b, 그리고 k를 차례로 읽어낼 수 있다.

1STEP 1

식에 로그 취하기

로그를 취하면 log v = log k + a·log n + b·log m 이 되어, 곱이 합으로 바뀐다.

log v = log(k n^am^b) = log k + alog n + blog m

2STEP 2

발가락 5개 집단 맞추기

n = 5 고정이면 log m 계수를 맞춰 b = 2, 상수는 log k + a·log 5 = 4.

(log k + alog 5) + blog m = 4 + 2log m → b = 2, log k + alog 5 = 4

3STEP 3

눈 25개 집단 맞추기

m = 25 고정이면 log n 계수를 맞춰 a = 4, 상수는 log k + b·log 25 = 4.

(log k + blog 25) + alog n = 4 + 4log n → a = 4, log k + blog 25 = 4

4STEP 4

k 구하기

a = 4를 넣으면 k·5⁴ = 10⁴, 즉 k = $\frac{10000}{625}$ = 16 (정수 조건 충족).

log k + 4log 5 = 4 → k · 5⁴ = 10⁴ → k = 10000/625 = 16

5STEP 5

일관성 확인하고 더하기

k = 16은 눈 식에도 맞다: 16·25² = 10⁴. 따라서 k + a + b = 22.

k + a + b = 16 + 4 + 2 = 22

정답

k = 16, a = 4, b = 2로 모델을 다시 세우면 v = 16n⁴m²이다. n = 5일 때 v = 16625m² = 10000m² 이므로 log v = log(10⁴ m²) = 4 + 2 log m 으로 첫 번째 단서와 일치한다. m = 25일 때 v = 16n⁴625 = 10000n⁴ 이므로 log v = 4 + 4 log n 으로 두 번째 단서와 일치한다. 두 식이 모두 성립하고 모든 상수가 정수이므로 답이 일관적이다.

💡핵심 정리

로그를 취하면 거듭제곱의 곱이 합으로 바뀌므로, 주어진 식과 나란히 놓고 조각을 하나씩 맞춰 나갈 수 있다.

식에 로그 취하기
발가락 5개 집단 맞추기
눈 25개 집단 맞추기
k 구하기
일관성 확인하고 더하기

식에 로그 취하기

발가락 5개 집단 맞추기

눈 25개 집단 맞추기

k 구하기

일관성 확인하고 더하기

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