AMC 10 · 2025 · #14
학년 6 algebra sequences-arithmeticmean-median-mode-rangelinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: sequences-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
자연수를 엄격히 줄어드는 순서로 늘어놓은 목록이 있습니다. 처음 세 수의 평균은 2025입니다. 네 번째 수부터는 다음 수를 더할 때마다 지금까지의 평균이 정확히 1씩 줄어듭니다. 그런 목록 중 가장 긴 것, 곧 n의 최댓값을 구하세요.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
1013
(B)
1014
(C)
1016
(D)
2016
(E)
2025
풀이 과정
전략 극단의 원리
가장 큰 n을 묻고 있으므로 답은 경계에 있습니다. 즉 항이 여전히 양수인 마지막 자리입니다. 이것이 극단의 원리입니다. 그 경계를 찾기 위해 먼저 각 평균을 합으로 바꾸고, 모든 항이 2씩 줄어드는 패턴을 찾은 뒤, 항이 음수가 되기 직전까지 n을 밀어붙입니다.
1STEP 1
평균을 합으로 바꾸기
처음 세 항의 합은 6075입니다.
S₃ = 3 × 2025 = 6075
평균은 전체를 똑같이 나눠 준 값이므로, 평균에 개수를 곱하면 전체 합이 다시 나온다.
평균은 총합을 고르게 나눈 것이므로, 개수를 곱하면 총합이 돌아온다.
▸ 왜?
평균은 총합을 개수로 나눈 것이므로, 둘은 한 가지를 두 가지로 읽은 것이다.
평균은 합을 개수로 나눈 것산술평균은 합을 값의 개수로 균등하게 나눈 것: 평균 = 합 ÷ 개수 (따라서 합 = 평균 × 개수).
▸ 왜?
그 총합은 늘어놓은 수를 더한 것이므로, 새 항은 조각 하나를 더할 뿐이다.
전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
2STEP 2
k개 항의 합 쓰기
k개 항의 합이 k 곱하기 2028 빼기 k입니다.
처음 k 개 평균 = 2028 - k, S_k = k(2028 - k)
매 단계 평균이 정확히 1씩 내려가므로, 평균은 2025에서 곧게 내려가는 직선 값이다.
6.SP.A.3Look For A Pattern3STEP 3
한 항만 뽑아내기
차를 내면 항이 2029 빼기 2k입니다.
x_k = S_k - S_k-1 = k(2028-k) - (k-1)(2029-k) = 2029 - 2k
두 누적합의 차이는 바로 새로 더한 그 항이므로, 합끼리 빼면 그 항이 드러난다.
6.EE.A.3Convert To Algebra4STEP 4
경계까지 밀어붙이기
항이 양수여야 하므로 n은 1014 이하입니다.
2029 - 2n ＞ 0 → n ＜ 1014.5 → n ≤ 1014
줄어드는 항이 0보다 큰 동안만 수열을 늘릴 수 있으니, 마지막 양수 항이 딱 멈추는 지점이다.
6.EE.B.5Extreme Principle5STEP 5
수열이 실제로 되는지 확인
실제로 되는 목록이 있어 답은 1014입니다.
2027 + 2025 + 2023 = 6075, 2023 ＞ 2021 = x₄
경계 답은 그 값에 실제로 도달하는 예를 하나 만들 수 있어야 인정된다.
6.SP.B.5Guess And Check정답
1014
항들은 x_k = 2029 - 2k 를 따르며 2021, 2019, 2017, ... 로 2씩 내려가는 등차수열입니다. k = 1014 에서 정확히 1이 되고 k = 1015 에서 음수가 되므로 1014가 자연스러운 마지막 지점입니다. 훨씬 큰 선택지인 2016이나 2025는 항이 매번 2씩 줄어든다는 점을 무시한 값입니다. 2씩 줄면 갈 수 있는 거리가 대략 절반이 되므로, 2028/2 근처인 1014가 타당한 크기입니다.
💡핵심 정리
각 평균을 합으로 바꾸고, 항이 매번 2씩 줄어드는 것을 지켜보다가, 항이 1보다 작아지려는 순간 세기를 멈추면 된다.
- 평균을 합으로 바꾸기
- k개 항의 합 쓰기
- 한 항만 뽑아내기
- 경계까지 밀어붙이기
- 수열이 실제로 되는지 확인