AMC 10 · 2025 · #16

학년 10 geometry-2drate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

trigonometric-ratiosangle-bisector-theoremisosceles-right-triangle dimensional-analysisidentify-subproblems ↑ 선수 지식: rate

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

시침과 분침이 있는 시계를 자정에 맞추고 정확히 2025분 동안 돌린 뒤 멈춥니다. 그 순간 두 바늘이 각을 이룹니다. 두 바늘 사이 예각의 탄젠트를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$\sqrt{2}-1$

(C)

$2-\sqrt{2}$

(D)

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

(E)

$3-\sqrt{2}$

풀이 과정

전략 단위 살펴보기

문제는 걸린 시간을 분 단위로 주고 각에 대해 묻고 있으므로, 핵심은 단위 변환입니다. 두 바늘은 각각 '분당 몇 도'라는 자기만의 일정한 속도를 가지고 있고, 이 두 비율만 적어 두면 모든 위치는 속도 곱하기 시간일 뿐입니다(단위 살펴보기). 그러면 할 일이 두 개의 깔끔한 작은 문제로 나뉩니다(작은 문제로 쪼개기): 먼저 두 바늘 사이 각의 크기, 그다음 그 각의 탄젠트입니다. 두 번째 조각에서 그림이 값을 합니다(그림 그리기). 각이 정확히 45도의 절반으로 나오므로, 삼각함수 항등식을 떠올리는 대신 45도 직각삼각형을 그려 이등분하면 만들어 낼 수 있습니다.

1STEP 1

2025분을 시계가 가리키는 시각으로 바꾸기

2025분은 9시 45분입니다.

2025 = 60 × 33 + 45, 33 = 12 × 2 + 9

2STEP 2

분침의 위치 정하기

분침은 270도에 있습니다.

360°/60 × 45 = 6° × 45 = 270°

3STEP 3

시침의 위치 정하기

시침은 조금 더 나아가 292.5도입니다.

9 × 30° + 45 × 0.5° = 270° + 22.5° = 292.5°

4STEP 4

빼서 예각 구하기

차는 22.5도로 예각입니다.

θ = 292.5° - 270° = 22.5°, 22.5° ＜ 90°

5STEP 5

45도 직각삼각형을 이등분하기

45도 직각삼각형을 이등분합니다.

AP/PB = OA/OB = 1/√(2), AP + PB = 1 → AP = 1/(1+√(2)) = √(2)-1

6STEP 6

그림에서 탄젠트 읽어내기

그림에서 읽으면 루트 2 빼기 1입니다.

tan 22.5° = AP/OA = (√(2)-1)/1 = √(2)-1

정답

√(2)-1

22.5도는 0도와 45도 사이에 있으므로 그 탄젠트는 반드시 0과 1 사이여야 하고, 약 0.577인 tan 30°보다도 작아야 합니다. √(2)-1은 약 0.414로 두 조건을 모두 통과하며, 계산기로도 tan 22.5° = 0.41421…이 나와 일치합니다. 다른 보기는 모두 탈락합니다. (A) 0은 두 바늘이 겹친다는 뜻인데 실제로는 22.5도 벌어져 있고, (C) 2-√(2) ≈ 0.586, (D) √(2)/2 ≈ 0.707, (E) 3-√(2) ≈ 1.586은 30도보다 작은 각치고는 모두 너무 큽니다. 시각 계산도 따로 확인됩니다. 2025분은 꼬박 하루에 9시간 45분을 더한 것이므로 시계는 다음 날 아침 9시 45분에 멈추고, 12시간 시계판은 그때와 밤 9시 45분에 똑같은 그림을 보여 줍니다.

💡핵심 정리

두 바늘에 각각 분당 몇 도라는 자기 속도를 주고, 두 위치를 빼서 간격을 구한 다음, 45도 직각삼각형을 이등분해 그 간격의 탄젠트를 찾으세요.

2025분을 시계가 가리키는 시각으로 바꾸기
분침의 위치 정하기
시침의 위치 정하기
빼서 예각 구하기
45도 직각삼각형을 이등분하기
그림에서 탄젠트 읽어내기