AMC 10 · 2025 · #18

학년 12 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Markov State Probability

expected-valueprobability-basicrecursive-sequence identify-subproblemseasier-related-problem ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

아우닉이 같은 게임을 계속 반복합니다. 한 판은 3분의 1 확률로 승, 3분의 2 확률로 패이고 각 판은 서로 무관합니다. 전적에 승도 한 번 이상, 패도 한 번 이상 나올 때까지 계속합니다. 그가 하는 게임 수의 기댓값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{5}{2}$

(B)

(C)

$\frac{16}{5}$

(D)

$\frac{7}{2}$

(E)

$\frac{15}{4}$

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

멈추는 조건이 서로 다른 두 가지를 동시에 요구하기 때문에 결과를 곧바로 세려고 하면 복잡해진다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 첫 번째 게임에서 한 번 끊는다: 첫 게임만으로는 결코 끝날 수 없고, 그것이 끝나면 아직 없는 결과는 정확히 한 종류뿐이므로 남은 부분은 목표가 하나인 기다림이 된다. 도구 #4 (변수 도입하기)로 남은 두 가지 기다림을 E_W, E_L 로 이름 붙여 경우마다 따로 다루는 대신 기호로 처리한다. 이어서 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기)로 "확률 p 인 사건이 처음 나올 때까지 독립 시행을 몇 번 하는가"라는 일반 문제를 한 번만 풀어 1/p를 얻으면, 두 기다림은 모두 그 특수한 경우가 된다. 도구 #16 (관점 바꾸기)은 검토 단계의 독립적인 교차 검증에 쓴다: 언제 끝나는지를 좇는 대신 아직 끝나지 않았을 확률을 세어 그 꼬리 확률을 모두 더한다.

1STEP 1

첫 게임만으로는 끝나지 않는다

첫 판 뒤에는 반대 결과를 기다립니다.

N = 1 + M, 여기서 M 은 첫 게임과 반대되는 결과를 기다리는 횟수

2STEP 2

남은 두 기다림에 이름 붙이기

기다림은 두 종류뿐입니다.

E_W = E[첫 패배까지의 게임 수], E_L = E[첫 승리까지의 게임 수]

3STEP 3

첫 성공까지의 기댓값

첫 성공까지 기댓값은 확률의 역수입니다.

E = 1 + (1 - p)E → pE = 1 → E = 1/p

4STEP 4

두 기다림에 값 넣기

두 값은 2분의 3과 3입니다.

E_W = 1/2/3 = 3/2, E_L = 1/1/3 = 3

5STEP 5

두 갈래에 가중치 주기

첫 판 확률로 가중평균합니다.

E[N] = 1 + 1/3E_W + 2/3E_L

6STEP 6

계산 마무리하기

계산하면 2분의 7입니다.

E[N] = 1 + 1/3 · 3/2 + 2/3 · 3 = 1 + 1/2 + 2 = 7/2 → (D)

정답

7/2

승리와 패배가 모두 필요하므로 언제나 N ≥ 2이고, 2 이하의 값은 답이 될 수 없다. 7/2 = 3.5는 이 하한을 넘는다. 더 좁은 범위도 나온다: 전체는 1 + M 이고 M 의 기댓값은 E_W = 3/2 아니면 E_L = 3 이므로, E[N]은 1 + 3/2 = 5/2와 1 + 3 = 4 사이에 있어야 한다. 그런데 더 느린 갈래인 승리 기다림 쪽이 더 큰 확률 2/3로 선택되므로, 값은 5/2 보다 4에 가까워야 하고 7/2가 실제로 그렇다. 가까운 두 선택지는 전형적인 실수와 정확히 맞아떨어진다: (A) 5/2는 항상 패배를 기다리게 된다고 잘못 가정했을 때 나오는 값이고, (B) 3은 첫 게임과 다른 갈래를 빼고 승리 기다림 E_L 만 답으로 적은 값이다.

💡핵심 정리

첫 게임은 아직 없는 결과가 무엇인지만 정해 주고, 확률이 p 인 결과는 평균적으로 1/p 번의 게임 만에 나타난다.

첫 게임만으로는 끝나지 않는다
남은 두 기다림에 이름 붙이기
첫 성공까지의 기댓값
두 기다림에 값 넣기
두 갈래에 가중치 주기
계산 마무리하기