AMC 10 · 2025 · #21

학년 11 geometry-2d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

law-of-cosinestrigonometric-ratiossupplementary-angles bound-inequality-then-enumerateconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

두 삼각형의 넓이가 같지만 합동은 아닙니다. 둘 다 한 변이 8이고 다른 한 변이 9이며, 각각 나머지 한 변의 길이가 자연수입니다. 그 두 나머지 변의 합을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 변수 도입하기

두 변이 8과 9로 고정되어 있으므로 각 삼각형에 남은 자유도는 그 두 변 사이에 낀 각 하나뿐입니다. 이 각에 이름을 붙이면(변수 도입하기) 넓이와 나머지 변이 모두 하나의 미지수에 대한 식으로 바뀌고, 두 삼각형을 나란히 그려 보면(그림 그리기) 왜 하나는 납작하고 하나는 길쭉해야 하는지가 보입니다. 넓이가 같다는 조건이 두 각 사이의 관계를 강제하고, 코사인법칙이 그 관계를 각이 전혀 남지 않는 하나의 식으로 바꿔 줍니다. 그다음 남는 것은 작은 정수 탐색입니다: 삼각부등식으로 나머지 변의 범위를 잘라 내고(가능성 지우기), 살아남은 후보를 훑어(빠짐없이 나열하기) 정확히 한 쌍만 가능함을 확인합니다. 마지막으로 그 쌍을 코사인법칙에 되돌려 넣어(추측하고 확인하기) 진짜 삼각형이 만들어지는지 검산합니다.

1STEP 1

8과 9 사이의 낀 각에 이름 붙이기

8과 9 사이 낀 각이 모든 것을 정합니다.

변 8, 9와 낀 각 θ ⟶ 삼각형 결정; 0° ＜ θ ＜ 180°

2STEP 2

넓이가 같으면 사인값이 같다

넓이가 같으면 사인값이 같습니다.

1/2 · 8 · 9sinθ₁ = 1/2 · 8 · 9sinθ₂ ⟹ sinθ₁ = sinθ₂

3STEP 3

합동이 아니므로 두 각은 보각

합동이 아니므로 두 각은 보각입니다.

θ₁ ≠ θ₂, sinθ₁ = sinθ₂ ⟹ θ₂ = 180° - θ₁

4STEP 4

두 삼각형에 코사인법칙 적용

코사인법칙에서 부호만 다른 두 식이 나옵니다.

s₁² = 8² + 9² - 2 · 8 · 9cosθ₁ = 145 - 144cosθ₁, s₂² = 145 - 144cos(180° - θ₁) = 145 + 144cosθ₁

5STEP 5

두 식을 더해 각을 없애기

더하면 제곱의 합이 290입니다.

s₁² + s₂² = (145 - 144cosθ₁) + (145 + 144cosθ₁) = 290

6STEP 6

나머지 변의 범위 자르기

삼각부등식이 변을 2에서 16까지로 가둡니다.

9 - 8 ＜ s ＜ 9 + 8 ⟹ 1 ＜ s ＜ 17 ⟹ s ∈ {2, 3, …, 16}

7STEP 7

합이 290인 두 제곱수 훑기

합이 290인 제곱 쌍은 11과 13뿐입니다.

290 ≡ 2 (mod 4) ⟹ s₁, s₂는 모두 홀수; 11² + 13² = 121 + 169 = 290

8STEP 8

쌍을 확인하고 더하기

검산 후 더하면 24입니다.

cosθ₁ = (145 - 121)/144 = 1/6 ∈ (-1, 1), s₁ + s₂ = 11 + 13 = 24

정답

두 삼각형의 넓이가 정말 같은지 확인해 봅시다. cosθ₁ = 1/6이면 sinθ₁ = √(35)/6이므로 각 넓이는 36 · √(35)/6 = 6√(35) ≈ 35.5로 서로 같습니다. 8-9-11 삼각형은 낀 각이 예각인 쪽, 8-9-13 삼각형은 둔각인 쪽이며, 하나는 납작하고 하나는 길쭉하다는 그림과 잘 맞습니다. 두 나머지 변 모두 허용 범위 2에서 16 안에 여유 있게 들어가고, 합 24는 보기 (C)에 정확히 떨어집니다. 크기 감각으로도 두 나머지 변이 균형값 √(145) ≈ 12.04를 사이에 두고 갈라지므로 합이 2 × 12보다 조금 큰 것이 자연스럽습니다.

💡핵심 정리

두 변이 고정되면 그 사이의 각이 유일한 조절 손잡이입니다. 넓이가 같다는 것은 두 삼각형이 어떤 각과 그 보각을 쓴다는 뜻이고, 보각에서 코사인의 부호가 뒤집히므로 두 나머지 변의 제곱의 합은 항상 같은 값으로 고정됩니다.

8과 9 사이의 낀 각에 이름 붙이기
넓이가 같으면 사인값이 같다
합동이 아니므로 두 각은 보각
두 삼각형에 코사인법칙 적용
두 식을 더해 각을 없애기
나머지 변의 범위 자르기
합이 290인 두 제곱수 훑기
쌍을 확인하고 더하기