AMC 10 · 2025 · #24

학년 11 algebra

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Periodic Placement Formula

logarithm-propertiesperiodic-functionsign-analysis bound-inequality-then-enumeratecasework ↑ 선수 지식: logarithm-properties

📏 긴 풀이 💡 5 개 인사이트

문제

사인 20 파이 x와 로그 20 밑의 x가 같은 값을 갖는 실수 x가 몇 개인지 모두 세세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

199

(B)

200

(C)

398

(D)

399

(E)

400

풀이 과정

전략 그림 그리기

이 식은 어떤 변형으로도 x를 따로 떼어낼 수 없다. 그러니 푸는 것을 포기하고 세는 쪽으로 방향을 바꾼다. 양변을 한 그림에 올려 두고, 빠르게 흔들리는 파동이 느리게 올라가는 로그 곡선을 몇 번 지나가는지 센다. 사인의 최댓값과 최솟값 ± 1이 탐색 범위를 유한한 구간으로 가둬 주므로 무한한 문제가 유한한 문제로 바뀐다. 그 구간 안에서 파동은 같은 모양을 되풀이하니, 교점을 하나씩 세지 않고 되풀이 단위로 센다. 이웃한 두 영점 사이의 한 덩어리가 바로 그 단위다. 그다음 부호를 비교해 쓸모없는 단위를 지우면 살아남은 단위들은 모양이 모두 같아 각각 같은 개수의 교점을 준다. 마지막 일은 장부 정리다. 두 단위의 이음매에 걸린 교점이 두 번 세지지 않았는지 확인한다.

1STEP 1

두 그래프의 교점 세기로 바꾸기

문제를 두 그래프의 교점으로 바꿉니다.

f(x) = sin(20π x), g(x) = log₂₀(x)

2STEP 2

x를 유한 구간에 가두기

x는 20분의 1과 20 사이에 갇힙니다.

-1 ≤ log₂₀(x) ≤ 1 ⇔ 1/20 ≤ x ≤ 20

3STEP 3

구간을 아치로 자르기

구간을 아치로 자릅니다.

T = 2π/20π = 1/10, 아치 폭 = 1/20, (20 - 1/20)/1/20 = 399

4STEP 4

부호가 맞지 않는 아치 지우기

부호가 맞는 아치는 200개입니다.

10 개의 살아 있는 골짜기 + 190 개의 살아 있는 봉우리 = 200 개

5STEP 5

살아남은 아치마다 교점 두 개

살아남은 아치마다 교점 두 개입니다.

200 × 2 = 400 개로 센 교점

6STEP 6

겹쳐 센 한 점 빼기

겹쳐 센 하나를 빼면 399입니다.

400 - 1 = 399

정답

399

오답 보기들은 하나같이 이 셈에 실제로 등장하는 수이고, 답은 그 함정들을 모두 통과한다. 400은 x = 1의 중복을 빼기 전 아치별 합계이고, 398은 그 이음매를 두 번 빼야 나오는 값이며, 200은 교점이 아니라 살아 있는 아치의 개수이고, 199는 그 개수에서 하나 어긋난 값이다. 장부도 맞아떨어진다. 구간에는 아치가 399개 있고 그중 200개가 살고 199개가 죽으며, 10 + 190의 분할이 두 부분 셈과 일치한다. sin(20π x) - log₂₀(x)를 [1/20, 20]에서 그려 부호가 바뀌는 자리를 세어 보아도 399가 나온다. 마지막으로 구간의 양 끝은 덤으로 붙는 해가 아니다. x = 1/20에서 파동은 0인데 로그는 -1이고, x = 20에서 파동은 0인데 로그는 1이다.

💡핵심 정리

빠른 파동이 느린 곡선을 만나면 푸는 대신 세라. 만날 수 있는 자리를 울타리로 가두고, 울타리를 아치 하나씩으로 자르고, 0의 반대쪽에 있는 아치는 버리고, 남은 아치마다 교점 두 개를 주고, 마지막으로 이음매에 걸려 두 번 세어진 교점이 없는지 확인하면 된다.

두 그래프의 교점 세기로 바꾸기
x를 유한 구간에 가두기
구간을 아치로 자르기
부호가 맞지 않는 아치 지우기
살아남은 아치마다 교점 두 개
겹쳐 센 한 점 빼기