AMC 10 · 2025 · #3
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
네 인수를 앞에서부터 차례로 곱해도 답은 나오지만, 지저분한 복소수를 세 번의 곱셈에 계속 끌고 다녀야 하고 부호를 놓칠 기회도 세 번 생긴다. 그래서 손대기 전에 인수들을 먼저 다시 배치한다. 네 인수는 i 에서 각각 0, 1, 2, 3 만큼 뺀 것인데, 바깥 두 개끼리 묶고 안쪽 두 개끼리 묶으면 각 묶음의 뺀 값의 합이 똑같이 3이 된다. 그러면 두 묶음이 같은 모양으로 나올 수밖에 없다. 이렇게 다시 묶으면 긴 곱 하나가 짧고 서로 독립적인 곱 두 개로 나뉘고, 같은 모양이라는 점 덕분에 마지막에 한 번에 정리된다. 또 끝까지 i 가 살아남을 수 있는지를 지켜보면 계산을 다 끝내기 전에 보기 대부분을 지울 수 있다.
바깥끼리, 안쪽끼리 묶기
바깥끼리, 안쪽끼리 묶습니다.
뺀 값의 합이 같아지도록 인수를 짝지으면 두 묶음이 같은 꼴이 되고, 같은 꼴끼리는 깔끔하게 합쳐진다.
9.A-SSE.A.2Organize Information In More Ways두 묶음을 각각 곱하기
두 묶음이 마이너스 1 빼기 3i와 1 빼기 3i가 됩니다.
복소수의 곱셈은 평범한 전개일 뿐이고, 규칙이 하나 더 있을 뿐이다. 모든 i²은 -1이 된다.
11.N-CN.A.2Identify Subproblems합차공식 꼴 드러내기
부호를 빼내면 합차공식 꼴입니다.
두 인수가 한 항의 부호만 다르면 가운데 항끼리 지워지고 제곱만 살아남는다.
두 인수가 한 항의 부호만 다르면 가운데 항이 지워지고 제곱만 남는다.
▸ 왜?
합에 그와 짝이 되는 차를 곱하면 한 제곱에서 다른 제곱을 뺀 것이 된다.
▸ 왜?
펼치면 각 항이 다른 쪽에 퍼지며, 그래서 가운데 항이 짝을 이루어 지워진다.
남은 i 가 있는지 확인하기
허수부가 모두 사라져 실수가 됩니다.
복소수가 실수라는 것은 일차항 i 가 하나도 남지 않았다는 뜻인데, 여기서는 상쇄가 그것을 전부 없앴다.
11.N-CN.A.1Eliminate Possibilities대입해서 마무리하기
대입하면 마이너스 10입니다.
9i²을 빼는 것은 9를 더하는 것과 같으므로 괄호 안이 10이 되고, 바깥의 마이너스가 결과를 음수로 만든다.
11.N-CN.A.2Identify Subproblems긴 곱셈을 시작하기 전에 조각들이 서로 같은 꼴이 되는 묶음을 먼저 찾아라. 같은 꼴끼리는 지저분한 부분을 서로 지워 주고 깔끔한 수만 남긴다.
- 바깥끼리, 안쪽끼리 묶기
- 두 묶음을 각각 곱하기
- 합차공식 꼴 드러내기
- 남은 i 가 있는지 확인하기
- 대입해서 마무리하기