AMC 10 · 2025 · #4
학년 8 number-theory base-conversiondigit-decompositionlinear-diophantine convert-to-algebra ↑ 선수 지식: base-conversion
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
7진법에서 두 자리 수 a b로 읽는 값이 9진법에서 두 자리 수 b a로 읽는 값과 같습니다. 두 자릿수의 합 a 더하기 b를 구하세요.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
7
(B)
9
(C)
10
(D)
11
(E)
14
풀이 과정
전략 변수 도입하기
숫자 a 와 b 가 모르는 값이므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 이들을 변수로 이름 붙이고 각 수의 자릿값 의미를 방정식으로 바꾼다. 방정식을 풀면 두 숫자의 비만 정해지므로, 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 조건에 맞는 작은 숫자 쌍을 확인하고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 7진법 숫자 한계(a,b ≤ 6)를 써서 같은 비를 만족하지만 숫자로 쓸 수 없는 더 큰 쌍을 걸러낸다.
1STEP 1
각 수를 자릿값으로 쓰기
두 표기를 각각 자릿값으로 펼칩니다.
a b_ 7=7a+b, b a_ 9=9b+a
두 자리 수는 결국 밑 곱하기 첫 숫자 더하기 둘째 숫자일 뿐이다.
두 자리 표기는 밑에 첫 자릿수를 곱한 것에 둘째 자릿수를 더한 것일 뿐이다.
▸ 왜?
수 표기는 자릿수에 밑의 거듭제곱을 곱한 것이며, 자리마다 무게가 하나씩이다.
자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.
▸ 왜?
각 자릿수는 밑보다 작아야 하며, 그것이 나중에 가능한 값을 한정한다.
부등호의 추이성첫째가 둘째보다 크고 둘째가 셋째보다 크면 첫째는 셋째보다 크다.
2STEP 2
값을 같다고 놓고 정리하기
정리하면 3a는 4b입니다.
7a+b=9b+a → 6a=8b → 3a=4b
같은 항을 등호 너머로 옮겨 관계식을 가장 간단한 꼴로 줄인다.
8.EE.C.7Introduce A Variable3STEP 3
숫자를 찾아 더하기
4와 3이 유일한 자릿수라 합은 7입니다.
3a=4b→ a:b=4:3→ (a,b)=(4,3); a+b=7 → (A)
비는 두 숫자를 배율까지 정해 주고, 숫자 한계가 가장 작은 유효한 배율만 남긴다.
6.RP.A.1Eliminate Possibilities정답
7
두 수 모두 31로 계산되어 설정이 앞뒤가 맞는다: 7·4+3=31, 9·3+4=31. 숫자 4와 3은 모두 7 보다 작아 7진법(과 9진법)에서 유효하고, 맨 앞 숫자 4는 0이 아니므로 a b는 실제로 두 자리 수이다. 합 4+3=7은 (A)와 일치한다. 더 큰 비 쌍 (8,6)은 8+6=14로 선택지 (E)의 함정과 정확히 같지만, 8은 7진법 숫자가 아니므로 올바르게 버려진다.
💡핵심 정리
어떤 진법에서든 두 자리 수는 밑 곱하기 첫 숫자 더하기 둘째 숫자일 뿐이라서, 그것을 그대로 쓰면 진법 문제가 간단한 방정식으로 바뀐다.
- 각 수를 자릿값으로 쓰기
- 값을 같다고 놓고 정리하기
- 숫자를 찾아 더하기