AMC 10 · 2025 · #5
학년 7 number-theory답을 골라 클릭하세요.
등식 하나만으로는 미지수 둘을 정할 수 없으므로, 진짜 열쇠는 '양의 정수'라는 말에 있습니다. 57은 400에 비해 큰 수이므로 x가 될 수 있는 값은 몇 개뿐입니다. 그래서 먼저 x를 좁은 범위 안에 가두고, 될 수 없는 값을 지운 뒤, 남은 몇 개를 하나씩 확인하는 것이 계획입니다. 가능한 쌍의 목록을 빠짐없이 손에 넣고 나면 가장 작은 합을 고르는 일은 목록을 읽는 것에 지나지 않으므로, 따로 기발한 방법을 찾을 필요가 없습니다.
x를 좁은 범위에 가두기
y가 1 이상이므로 x는 7보다 작습니다.
한 변수를 허용된 가장 작은 값으로 밀어 두면 다른 변수는 손으로 셀 수 있을 만큼 좁은 범위로 눌립니다.
7.EE.B.4Extreme Principle짝홀로 홀수 x 지우기
짝홀을 보면 x가 짝수여야 합니다.
짝홀 따지기는 공짜 거름망이어서, 계산을 시작하기도 전에 생각 한 줄로 할 일을 절반으로 줄여 줍니다.
홀짝은 공짜 거름망이다. 한 줄의 생각으로 일을 절반으로 줄여 준다.
▸ 왜?
홀짝이 같은 두 수의 합은 짝수이므로, 양변의 홀짝이 맞아야 한다.
▸ 왜?
홀짝은 2로 나눈 나머지일 뿐이므로, 그 시험은 나눗셈 한 번이다.
남은 세 값 확인하기
후보 셋 중 2만 통과합니다.
여기서 푼다는 것은 허용된 몇 개의 수 가운데 어느 것이 등식을 참으로 만드는지 확인하는 일이고, '22의 배수인가?'가 그 확인의 전부입니다.
6.EE.B.5Make A Systematic Listy를 구하고 검산하기
그때 y는 13이고 검산도 맞습니다.
미지수 하나가 정해지면 등식은 곱셈 한 줄로 줄어들고, 나눗셈 한 번이면 풀립니다.
6.EE.B.7Make A Systematic List쌍이 하나뿐이면 최솟값도 정해짐
쌍이 하나뿐이니 합은 15입니다.
빠짐없이 만든 목록에 값이 하나뿐이면 그 값이 곧 최솟값이므로, 탐색을 끝내는 것이 곧 답하는 것입니다.
7.EE.B.4Extreme Principle미지수가 둘인 등식이 하나뿐이어도 둘 다 양의 정수여야 한다면, 먼저 한 변수를 좁은 범위로 가둔 다음 남은 몇 개의 수만 확인하면 됩니다.
- x를 좁은 범위에 가두기
- 짝홀로 홀수 x 지우기
- 남은 세 값 확인하기
- y를 구하고 검산하기
- 쌍이 하나뿐이면 최솟값도 정해짐