AMC 10 · 2025 · #7
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
254개를 손으로 더하는 것은 불가능하므로 항 자체를 다루기 쉬운 모양으로 바꿔야 한다. 그 일을 도구 #15(다르게 정리하기)가 맡는다. 분자는 분수 하나의 로그이고 분모에는 log₂n 과 log₂(n+1)이 따로 들어 있으니, 분자를 바로 그 두 로그의 차로 다시 쓰면 분수가 둘로 갈라진다. 이어서 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 항 세 개짜리 축소판에서 소거가 눈에 보이는지 확인하고, 도구 #5(패턴 찾기)로 그 소거를 254개 전체로 넓힌다. 마무리는 도구 #3(가능성 지우기)가 맡는다. 끝을 255로 잡은 이유가 256=2⁸을 등장시키기 위해서이고, 보기 중 둘은 마지막에 어떤 로그가 남느냐만 다른 함정이기 때문이다.
분자를 차로 바꾸기
분자를 두 로그의 차로 바꿉니다.
몫의 로그는 사실 뺄셈이고, 분모가 기다리던 것이 바로 그 뺄셈이다.
11.F-LE.A.4Organize Information In More Ways역수 두 개로 쪼개기
항이 역수 두 개의 차로 쪼개집니다.
차를 그 차를 이루는 두 값의 곱으로 나누면 언제나 한쪽 역수에서 다른 쪽 역수를 뺀 꼴이 된다.
어떤 차를 그 두 조각의 곱으로 나눈 것은 언제나 한 역수에서 다른 역수를 뺀 것이다.
▸ 왜?
그 차를 따라 분수를 가르면 각 조각이 아래의 두 인수 가운데 하나와 지워진다.
▸ 왜?
어떤 양을 자기 자신으로 나누면 곱셈이 되돌려져, 역수 하나만 정확히 남는다.
세 항짜리 축소판 확인
세 항짜리 축소판으로 소거를 확인합니다.
축소판 하나면 거의 쓰지 않고도 전체가 어떻게 굴러가는지 보인다.
9.A-SSE.A.2Solve An Easier Related Problem전체 합에서 소거하기
전체에서 양 끝 두 항만 남습니다.
가운데 조각은 모두 한 번 더해지고 한 번 빠지므로 사슬의 양 끝만 살아남는다.
9.A-SSE.A.1Look For A Pattern남은 두 값 계산하기
남은 값은 1과 8분의 1입니다.
끝나는 지점은 살아남는 로그가 2의 거듭제곱에 떨어지도록 고른 것이다.
11.F-LE.A.4Organize Information In More Ways빼서 보기와 맞추기
빼면 8분의 7입니다.
마지막 로그를 log₂₂₅₅가 아니라 8로 읽는 순간 남는 보기는 하나뿐이다.
9.A-SSE.A.1Eliminate Possibilities긴 합의 각 항을 같은 식의 앞 값에서 다음 값을 뺀 꼴로 쓸 수 있으면 가운데는 모두 사라지고 맨 앞 조각에서 맨 뒤 조각을 뺀 것만 남는다.
- 분자를 차로 바꾸기
- 역수 두 개로 쪼개기
- 세 항짜리 축소판 확인
- 전체 합에서 소거하기
- 남은 두 값 계산하기
- 빼서 보기와 맞추기