AMC 10 · 2025 · #8
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보통은 다항식이 먼저 주어지고 근을 구한다. 이 문제는 근이 주어지고 다항식을 되찾아야 하므로, 기계를 거꾸로 돌린다: 근을 인수로 바꾸고, f(x)를 인수분해된 꼴로 다시 세운 다음, 전개해서 계수를 읽어 내는 것이다. 이 계획의 유일한 빈틈은 근 하나만으로는 삼차식이 정해지지 않는다는 점이다 — 세 근이 모두 필요하다. 주어진 근을 다르게 정리해서(그 근이 만족하는 정수 계수 이차식으로) 두 번째 근을 공짜로 얻고, 남은 마지막 근에 변수 이름을 붙이면 이미 알고 있는 x²의 계수가 그 값을 확정해 준다.
근을 방정식으로 바꾸기
근호를 없애 정수 계수 이차식을 만듭니다.
제곱은 근호를 없애는 유일한 동작이며, 다루기 까다로운 수를 깔끔한 정수 방정식으로 바꿔 준다.
11.N-RN.A.2Organize Information In More Ways이 이차식이 f의 인수임을 보이기
그 이차식이 f의 인수입니다.
정수 계수 다항식은 무리수 짝 중 한쪽만 골라 가질 수 없다 — 남는 부분이 무리수를 해로 갖는 유리수 방정식이 되어 버리기 때문이다.
정수 계수 다항식은 무리수 짝 가운데 하나만 골라 가질 수 없다.
▸ 왜?
그런 근은 짝을 이루어 오므로, 하나를 취하면 다른 하나도 딸려 온다.
▸ 왜?
근에서 0이 되는 다항식은 그 근의 인수를 지니므로, 그 짝의 이차식이 통째로 그것을 나눈다.
세 번째 근 확정하기
계수를 맞추면 셋째 근이 마이너스 3입니다.
켤레 짝이 이미 근의 합 5 중에서 8을 차지했으니, 세 번째 근이 3만큼 끌어내려야 한다.
9.A-SSE.A.1Introduce A Variable인수분해된 꼴 전개하기
전개하면 삼차식 전체가 드러납니다.
인수분해된 꼴과 전개된 꼴은 옷만 갈아입은 같은 다항식이며, 전개는 계수를 눈앞에 늘어놓을 뿐이다.
9.A-APR.A.1Organize Information In More Waysa와 b 읽어 내기
a는 마이너스 13, b는 33이라 합은 20입니다.
계수 비교가 정당한 이유는 하나의 다항식에는 계수의 목록이 오직 하나뿐이기 때문이다.
9.A-SSE.A.1Introduce A Variable정수 계수 다항식은 4±√(5) 같은 무리수 짝에서 한쪽만 가질 수 없고 반드시 둘 다 가져야 하는데, 공짜로 얻은 그 두 번째 근이면 다항식 전체를 되살리기에 충분하다.
- 근을 방정식으로 바꾸기
- 이 이차식이 f의 인수임을 보이기
- 세 번째 근 확정하기
- 인수분해된 꼴 전개하기
- a와 b 읽어 내기