AMC 8 · 1999 · #14

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

perimeterpythagorean-theoremisosceles-trianglearea-rectangles identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremperimeter

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

사다리꼴 ABCD 에서 AB = CD (등변 사다리꼴) 입니다. 그림에서 평행한 두 변은 윗변 BC = 8, 아랫변 AD = 16 이고, 사다리꼴의 높이(두 평행한 변 사이의 수직 거리)는 3 입니다. ABCD 의 둘레를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 1999 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

빗변 길이는 모르지만 높이 3 과 평행한 두 변 8, 16 은 주어져 있어요. 도구 #1(그림 그리기) 의 정석 보조선을 추가합니다 — B 와 C 에서 아랫변 AD 로 수선을 내리는 거죠. 이 자르는 선 한 번으로 사다리꼴은 가운데 직사각형과 양옆 두 합동인 직각삼각형으로 나뉘고(등변이므로 합동), 이게 바로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 입니다 — 사다리꼴 문제가 쉬운 직각삼각형 하나의 피타고라스 문제로 바뀝니다.

1STEP 1

B 와 C 에서 아랫변 AD 로 수선을 내리면 가운데 BCFE 는 직사각형, 양옆은 직각삼각형입니다.

BE = CF = 3, EF = BC = 8

2STEP 2

아랫변 AD = 16 은 AE + EF + FD 이고 EF = 8 이므로 양옆 두 구간은 AE + FD = 8.

AE + FD = 16 - 8 = 8

3STEP 3

등변 대칭으로 두 삼각형이 합동이라 AE = FD, 나머지 8 을 반으로 나누면 AE = FD = 4.

AE = FD =

\frac{8}{2}

= 4

4STEP 4

△ ABE 는 직각변 AE = 4, BE = 3 이므로 피타고라스 정리로 빗변 AB = 5 (3-4-5 삼각형).

AB = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √(25) = 5

5STEP 5

반대편 삼각형도 합동이라 CD = AB = 5, 네 변의 합은 5 + 8 + 5 + 16 = 34.

둘레 = AB + BC + CD + DA = 5 + 8 + 5 + 16 = 34 → (D)

정답

빗변 길이를 삼각부등식과 어림으로 점검합시다. 빗변은 가로 4 위로 세로 3 만큼 올라가는 선이므로 4 보다는 길고 4 + 3 = 7 보다는 짧아야 해요 — 5 가 딱 그 사이입니다. 둘레 점검: 두 가로변이 이미 8 + 16 = 24 를 차지하므로 둘레는 24 를 넘어야 하고, 24 이하인 선택지는 즉시 탈락. 빗변 5 두 개를 더하면 24 + 10 = 34 로 (D) 와 일치. (E) 48 이려면 빗변 하나가 12 여야 하는데 높이가 3 인 짧은 사다리꼴에서는 너무 길고, (A) 27 이려면 빗변이 1.5 — 높이 3 보다도 짧아 불가능합니다.

💡핵심 정리

높이선 두 개를 그어 사다리꼴을 직사각형 + 똑같은 직각삼각형 두 개로 쪼개고, 3-4-5 직각삼각형에 피타고라스 한 번이면 빗변 = 5 — 둘레 5 + 8 + 5 + 16 = 34, 답은 (D).

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