AMC 8 · 2003 · #21

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-rectanglesarea-trianglespythagorean-theoremperimeter area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-trianglesarea-rectanglespythagorean-theoremlinear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

사다리꼴 ABCD 의 넓이는 164 cm², 높이는 8 cm, 빗변 AB = 10 cm, 빗변 CD = 17 cm 입니다. 평행한 두 변은 윗변 BC 와 아랫변 AD 이고요. 윗변 BC 의 길이를 구합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

이 사다리꼴은 서로 독립된 정보 세 개(넓이, 높이, 두 빗변)를 들고 있어요. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)을 쓰면 우리가 이미 다룰 줄 아는 조각들로 잘려요: B 와 C 에서 AD 로 수선을 내리면, 사다리꼴은 직사각형 한 개와 직각삼각형 두 개가 됩니다. 도구 #1(그림 그리기)이 이 분해를 눈에 보이게 해 주고, 수선을 그리는 순간 양옆 삼각형에 피타고라스 정리를 바로 쓸 수 있어요. 도구 #13(대수로 바꾸기)이 마무리: 넓이 공식에서 BC + AD = 41, 삼각형 밑변에서 AD = BC + 21. 두 식을 연립해 풀면 됩니다.

1STEP 1

넓이 164 와 높이 8 을 A = ½(b₁+b₂)h 에 넣으면 한 식으로 줄어요: BC + AD = 41.

164 =

\frac{1}{2}

(BC + AD) · 8 → 164 = 4(BC + AD) → BC + AD = 41

2STEP 2

B 와 C 에서 AD 로 수선을 내리면 사다리꼴은 직사각형과 양옆 직각삼각형 둘로 갈리고, 각 세로 변은 BE = CF = 8.

AD = AE + EF + FD, EF = BC, BE = CF = 8

3STEP 3

양옆 삼각형에 피타고라스 (한 변 8): 6-8-10 에서 AE = 6, 8-15-17 에서 FD = 15.

AE = √(10² - 8²) = √(36) = 6, FD = √(17² - 8²) = √(225) = 15

4STEP 4

아랫변은 두 발과 직사각형 폭 EF = BC 의 합이라 AD = BC + 21.

AD = AE + EF + FD = 6 + BC + 15 = BC + 21

5STEP 5

AD = BC + 21 을 BC + AD = 41 에 대입하면 2·BC = 20, 즉 BC = 10 — (B).

BC + (BC + 21) = 41 → 2BC = 20 → BC = 10 → (B)

정답

BC = 10 을 도로 그림에 넣어 확인합니다. AD = 10 + 21 = 31 이고, 사다리꼴 넓이는

\frac{1}{2}

(10 + 31) · 8 =

\frac{1}{2}

· 41 · 8 = 164 cm² — 주어진 넓이와 정확히 일치합니다. 가로 발 6, 15 와 높이 8 로 만든 빗변은 √(6²+8²)=10, √(15²+8²)=17 로 AB, CD 와 맞고요. 모든 입력이 재현되니 답이 일관됩니다. 선택지 중 (E) 20 같은 큰 값을 넣어 보면 AD = 41 - 20 = 21 이 되는데, 둘째 식에서는 AD = 20 + 21 = 41 이라야 해서 모순 — 오답은 즉시 걸러집니다.

💡핵심 정리

빗변이 있는 사다리꼴은 사실 직사각형 하나가 두 직각삼각형 사이에 숨어 있는 도형이에요. 높이를 내려 양옆 삼각형에 피타고라스 정리를 쓰고, 마지막에 넓이 공식으로 마무리하면 답이 나옵니다.

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