AMC 8 · 2004 · #24

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-rectanglesarea-trianglespythagorean-theoremformula-substitution area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectanglesarea-trianglespythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

직사각형 ABCD 안에 평행사변형 EFGH 가 내접해 있습니다. 직사각형의 각 변에서 평행사변형의 꼭짓점이 변을 두 조각으로 나누고, 각 조각의 길이가 그림에 표시되어 있습니다 — 윗변: AE=4, EB=6, 오른쪽 변: BF=5, FC=3, 아랫변: CG=4, GD=6, 왼쪽 변: DH=5, HA=3. 평행사변형의 두 평행한 변 HE 와 FG 사이의 수직 거리 d 를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

6.8

(B)

7.1

(C)

7.6

(D)

7.8

(E)

8.1

AMC 8 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기 / 여집합 세기

평행사변형은 기울어져 있어 직접 재기 까다롭습니다. 도구 #16(여집합 세기)은 질문을 뒤집습니다 — EFGH 를 재는 대신, 직사각형이 EFGH 를 만들기 위해 내어준 네 모서리 직각삼각형을 잰 뒤 직사각형 넓이에서 빼는 것이죠. 기울어진 길이를 측정하지 않고도 평행사변형의 넓이가 나옵니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 두 단계 — 넓이 구하기와 밑변 FG 구하기 — 로 나누고, 도구 #1(그림 그리기)로 각 모서리 삼각형의 두 다리 길이를 변 조각에서 그대로 읽어 옵니다. 넓이와 밑변을 손에 쥐면, 넓이 = 밑변 × 높이 한 줄로 d 가 나옵니다.

1STEP 1

잘려 나간 각 모서리는 표시된 변 조각을 두 다리로 갖는 직각삼각형 — A: 4,3, B: 6,5, C: 3,4, D: 6,5.

△ AEH: 4,3 △ BEF: 6,5 △ CFG: 3,4 △ DGH: 6,5

2STEP 2

네 모서리는 3-4 두 개와 5-6 두 개로 짝지어져, 넓이 합은 42 입니다.

2 ·

\frac{1}{2}

(4)(3) + 2 ·

\frac{1}{2}

(6)(5) = 12 + 30 = 42

3STEP 3

평행사변형은 모서리를 뺀 나머지이므로 넓이는 80 - 42 = 38 입니다.

[EFGH] = [ABCD] - 42 = (10)(8) - 42 = 80 - 42 = 38

4STEP 4

삼각형 CFG 는 3-4-5 직각삼각형이라, 밑변 FG 는 빗변 5 와 같습니다.

FG = √(3² + 4²) = √(25) = 5

5STEP 5

두 넓이 식을 같다고 놓으면 FG × d = 38, 즉 5d = 38 이고 d = 7.6 입니다.

[EFGH] = FG · d → 38 = 5d → d =

\frac{38}{5}

= 7.6 → (C)

정답

7.6

d 의 크기를 점검해 봅시다. 직사각형은 가로 10, 세로 8 이므로 안에 그릴 수 있는 선분의 길이는 최대 √(10² + 8²) ≈ 12.8. d 는 윗변 근처에서 아랫변 근처까지 가로지르므로, 세로 8 보다 약간 짧을 만한 값 — 7 과 8 사이가 자연스럽습니다. 선택지 중 7.6 이 깔끔하게 들어맞고, 6.8 은 가로지르기에 너무 짧으며 7.8 이나 8.1 이면 수선의 발이 FG 바깥으로 벗어납니다. 또한 평행사변형 넓이 38 과 밑변 FG=5 로부터 d =

\frac{38}{5}

= 7.6 으로 반올림 없이 정확히 떨어집니다.

💡핵심 정리

기울어진 평행사변형은 직접 재기 어렵지만, 직사각형이 내어준 네 모서리 삼각형은 쉽습니다 — 그 합 42 를 직사각형 넓이 80 에서 빼면 넓이는 38, 다시 밑변 FG=5 (3-4-5 삼각형) 로 나누면 d = 7.6 으로 떨어집니다.

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