AMC 8 · 1999 · #23

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

area-trianglespythagorean-theoremcoordinate-geometry identify-subproblemscoordinate-geometry ↑ 선수 지식: area-trianglespythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

한 변의 길이가 3 인 정사각형 ABCD 안쪽에 선분 CM 과 CN 을 그어, 정사각형이 넓이가 같은 세 영역으로 나뉘게 했습니다. 점 M 은 변 AB 위에, 점 N 은 변 AD 위에 있습니다. 선분 CM 의 길이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\sqrt{10}$

(B)

$\sqrt{12}$

(C)

$\sqrt{13}$

(D)

$\sqrt{14}$

(E)

$\sqrt{15}$

AMC 8 1999 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

그림은 이미 주어져 있지만, 핵심은 그림에서 정말 중요한 부분 — 꼭짓점 B 에 딱 붙어 있는 직각삼각형 CBM — 을 끄집어내 읽는 것이에요. 이것이 도구 #1(그림 그리기)의 "큰 그림 속에서 핵심 부분 도형을 부각시키기" 그대로입니다. 정사각형이 넓이가 같은 세 조각으로 나뉜다는 조건은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 의 신호 — 정사각형 전체를 한꺼번에 다루지 말고 △ CBM 만 떼어 와서, 그 넓이로부터 한 직각변 BM 을 구한 뒤 그 삼각형 하나에 피타고라스 정리를 쓰면 끝납니다. 연립방정식도, 좌표도 필요 없이 삼각형 하나가 모든 일을 합니다.

1STEP 1

정사각형 전체 넓이는 9, 이를 똑같이 셋으로 나누면 각 영역의 넓이는 3.

정사각형 넓이 = 3 × 3 = 9, 각 영역의 넓이 =

\frac{9}{3}

= 3

2STEP 2

직각삼각형 CBM 은 B 가 직각이라, 넓이 $\frac{1}{2}$ · 3 · BM = 3 에서 BM = 2.

넓이 =

\frac{1}{2}

· BC · BM → 3 =

\frac{1}{2}

· 3 · BM → BM = 2

3STEP 3

직각변 3 과 2 에 피타고라스 정리를 쓰면 CM² = 13, CM 은 그 제곱근.

CM² = BC² + BM² = 3² + 2² = 9 + 4 = 13 → CM = √(13) → (C)

정답

√(13)

두 가지로 점검합니다. (1) 길이 점검: CM 은 직각변이 3 과 2 인 직각삼각형의 빗변이므로 두 직각변보다는 길고 3 + 2 = 5 보다는 짧아야 합니다. √(9) = 3, √(25) = 5 이므로 √(13) ≈ 3.61 이 정확히 그 사이. 단, √(10), √(12), √(14), √(15) 도 모두 그 구간에 있으니 길이 점검만으로 답이 하나로 좁혀지진 않고, 9 + 4 = 13 이라는 정확한 계산이 결정합니다. (2) 대칭 점검: 그림은 대각선 AC 에 대해 대칭이므로 △ CDN 은 △ CBM 과 합동이어야 해요. 그러면 DN = BM = 2 가 되어 △ CDN 의 넓이도

\frac{1}{2}

· 3 · 2 = 3, 사각형 AMCN 의 넓이는 9 - 3 - 3 = 3 — 세 영역이 실제로 같은 넓이라서 조건과 들어맞습니다.

💡핵심 정리

정사각형을 넓이가 같은 세 조각으로 자른 다음, 모서리 직각삼각형 CBM (넓이 3, 한 직각변 3) 에 집중해 나머지 직각변 BM = 2 를 구하고, 피타고라스로 CM = √(3² + 2²) = √(13) — 답은 (C).

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