AMC 8 · 2005 · #7

학년 8 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length
pythagorean-theoremfraction-arithmeticcoordinate-geometry identify-subproblemscoordinate-geometry ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremfraction-arithmetic
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
빌이 남쪽으로 12\frac{1}{2} 마일, 동쪽으로 34\frac{3}{4} 마일, 다시 남쪽으로 12\frac{1}{2} 마일을 걷습니다. 출발점에서 도착점까지의 직선 거리는 몇 마일인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
1
(B)
$1\tfrac14$
(C)
$1\tfrac12$
(D)
$1\tfrac34$
(E)
2

AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

방향과 거리가 적힌 길 문제는 도구 #1(그림 그리기)의 전형적인 신호예요. 세 구간을 그려 보면 두 남쪽 구간이 같은 수직선 위에 한 줄로 이어지고, 동쪽 구간이 거기에 수직으로 붙는다는 것이 한눈에 보입니다. 그러면 출발점과 도착점은 직각삼각형의 두 비스듬한 꼭짓점이 되고, 직선 거리는 그 빗변이에요. 그림이 정리된 뒤에는 피타고라스 정리 한 줄이면 끝납니다 — 분수 두 개만 제곱하면 돼요.

1STEP 1

남쪽은 아래, 동쪽은 오른쪽으로 그리면 두 남쪽 구간이 한 세로선 위에 놓이고 그 사이에 동쪽 걸음이 껴요.

경로: (0,0) → (0,−12-\frac{1}{2}) → (34\frac{3}{4},−12-\frac{1}{2}) → (34\frac{3}{4},-1)
2STEP 2

출발-도착 직선을 그으면 남쪽 두 구간은 1, 동쪽은 34\frac{3}{4} 인 직각삼각형이 되고 그 직선이 빗변이에요.

남쪽 합계 = 12\frac{1}{2} + 12\frac{1}{2} = 1, 동쪽 합계 = 34\frac{3}{4}
3STEP 3

다리 1 과 34\frac{3}{4} 에 피타고라스 정리를 쓰면 빗변은 2516\frac{25}{16} 의 제곱근 — 익숙한 3-4-5 삼각형을 14\frac{1}{4} 로 줄인 것이에요.

d = √(1² + (34\frac{3}{4})²) = √(2516\frac{25}{16}) = 54\frac{5}{4} = 1 14\frac{1}{4} → (B)
정답
114\frac{11}{4}
직선 거리는 걸은 총거리 12\frac{1}{2} + 34\frac{3}{4} + 12\frac{1}{2} = 1 34\frac{3}{4} 마일보다 작아야 하고, 삼각형의 한 변 길이보다는 커야 하므로 1 과 1 34\frac{3}{4} 사이에 들어가야 합니다. 이 사실만으로 (A) 1 과 (E) 2 가 빠지고, 그림을 보면 1 에 살짝만 더한 값임이 보여 (C) 1 12\frac{1}{2} 보다는 (B) 1 14\frac{1}{4} 가 자연스러워요. 계산도 (B) 로 정확히 떨어집니다. 또한 3-4-5 라는 익숙한 비도 확인할 수 있어요: 세 수에 각각 14\frac{1}{4} 를 곱하면 34\frac{3}{4}-1-54\frac{5}{4} 가 되고, 이 값이 그대로 답입니다.
💡핵심 정리

두 남쪽 구간이 동쪽 구간을 사이에 두고 같은 세로선 위에 있다면, 출발-도착을 잇는 직선은 직각삼각형의 빗변 — 여기서는 익숙한 3-4-5 를 14\frac{1}{4} 만큼 줄인 것일 뿐이에요.

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